南安一中2017~2018学年度下学期周考试（2）第5周
高二数学理科试卷（2-2）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）
1．设复数z11i,z23i,其中i为虚数单位,则
z1的虚部为（ ） z2A. 13311331 C. i B. i D. 44442．用反证法证明命题“若abc0,则a,b,c中至少有一个为0”时，假设正确的是（ ）
A.假设a,b,c中只有一个为0； B. 假设a,b,c都不为0； C.假设a,b,c都为0； D. 假设a,b,c不都为0
3．正弦函数是奇函数，因为fxsinx1是正弦函数，所以fxsinx1是奇函数．以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提错误 C．小前提错误 D．以上都不对
4．某质点按规律v(t)2t（v单位：m/s，t单位：s）作直线运动，则该质点从t=0在t=3时的路程为（ ） A.
35 B. C. 3 D. 2 22(nn)2n·1·3··(2n1),从k到k1,左边需增乘的代数式( ）
2k1 k15. 数学归纳法证明(n1)(n2)A. 2k1
B．2(2k1) C. D．
2k3k1
6. 已知函数fx的导函数为fx，且满足关系式fx=13xf1，则f2的值等于( ） xA．
57 B．1 C．2 D． 447．如下图，已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（d≠0），记△=4（b2﹣3ac），则当△≤0，a＞0时，f（x）的
大致图象为（ ）
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A． B． C． D．
8. 已知直线ykx是ylnx的切线，则k的值为( )
A.
1111 B． C. D． 22ee9. 记f(n)(x)为函数f(x)的n(nN*)阶导函数，即f(n)(x)[f(n1)(x)](n2,nN*)．若
f(x)cosx，且集合M{m|f(m)(x)sinx,mN*,m2017}，则集合M中元素的个数为（ ）
A．1006
，b=
B．1007 ，c=
C．503 D．504
，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
10．若a=
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+
中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+=x求得x=程，则
A．3
=（ ）
B．
3．类比上述过
C．6 D．2
12．函数f(x)loga(x3ax)(a0,a1)在区间(2,1)内单调递减，（ ） a的取值范围是
) B．A．[2，1,2 C．[
22
,1) D．[,1)[2,)
33
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，请把答案写在答题卡上）： ．．．．．．．．．．
13.
2-2(4x2+x)dx=______.
14．若纯虚数z满足(1i)z1ai，则实数(a+z)2018 ．
15．把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 ．
x21],不等式f(x1)f(x2)a1恒16．已知函数f(x)axxlna，对任意的x1、x2[0，成立，则a的取值范围为____________．
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三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17．（本题满分10分） 用综合法或分析法证明： （Ⅰ）如果a＞0，b＞0，则
（Ⅱ）求证．
18．（本题满分12分）
设函数f（x）=mx2﹣（2m+1）x+lnx，m∈R． （Ⅰ）当m=3时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）设m＞0，讨论函数f（x）的单调性．
19．（本题满分12分）
在区间[0，1]上给定曲线y=x2． （Ⅰ）当t=时，求S1值．
（Ⅱ）试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小．
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20．（本题满分12分） 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+
﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（Ⅰ）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围. 21．（本题满分12分） 设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（an+
），
（Ⅰ）求a1，a2，a3，并猜想数列{an}的通项公式 （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想． 22．（本题满分12分）
已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有
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成立．
南安一中2017~2018学年度下学期周考试（2）第5周
高二数学理科试卷（2-2）参考答案
一、选择题1-6 DBCBBA 7-12 CCDBAD 二、填空题
13.214．
i 15．2：1(答案为2也可以) 16．ae
三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17．（本题满分10分） 证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
，
又∵函数f(x)lgx在上为增函数 （0，+）∴（Ⅱ）要证只需证
，即，
，
；……（5分）
即证明，也就是证明42＞40， 上式显然成立，故原结论成立．…………（10分） 18．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）当m=3时，f（x）=3x2﹣7x+lnx， ∴
令f'（x）＞0，解得∴f（x）在∴f（x）的极大值为
，
或x＞1；令f'（x）＜0，解得
和（1，+∞）上单调递增，在
，
上单调递减，
，极小值为f（1）=﹣4．…………（4分）
（Ⅱ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
由f'（x）=0得①当
，即
．……（6分）
时，f'（x）≥0恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；……（8分） ②当
，即
时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或
，
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令f'（x）＜0，解得则函数f（x）在（0，1）和③当
，即
，
上单调递增，在
上单调递减；（10分） 或x＞1，
时，令f'（x）＞0，解得
，
和（1，+∞）上单调递增，在
令f'（x）＜0，解得则函数f（x）在19．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）当t=时，S1=
上单调递减．（12分）
=（）|=；……（4分）
（Ⅱ）设0≤t≤1，当x=t时，y=t2 ∴S1=S2=
=（t2x=（
）|）|
==
，……（6分）
，……（8分）
（0≤t≤1）……（9分）
∴阴影部分的面积为S1+S2=f（t）=
f'（t）=4t2﹣2t，令f'（t）=0可得t1=0或t2=， t f'（t） (0,0.5) -- 0.5 0 极小 (0.5,1) + 递增 f（t） 递减 由f（0）=，f（1）=，f（）=，可知当t=时，S1+S2有最小值．……（12分） 20．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）
=
．…（1分）
因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…（2分） 即
，解得a=0，………………………（3分）
经检验，当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），
从而x=2为f（x）的极值点成立．…………………（4分） （Ⅱ）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数， 所以
在区间[3，+∞）上恒成立．…（5分）
① 当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，
故a=0符合题意．……………………………………（6分）
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②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知， 必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…………（7分） 令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为因为a＞0所以
，………………（8分）
，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0， 解得
因为a＞0，所以
由①可得，a=0时，符合题意； 综上所述，a的取值范围为[0，21．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由于Sn=（an+当n=1时，a1=（a1+当n=2时，a1+a2=（a2+当n=3时，a1+a2+a3=（a3+
），
]．…（12分）
．…（10分）
．
），可得a1=1， ），可得a2=），可得a3=
﹣1， ﹣
，
猜想：an=﹣（n∈N+）………………（6分） （Ⅱ）证明：①当n=1时，a1=1，等式成立． ②假设n=k（k≥1）时，ak=﹣成立， 则当n=k+1时，ak+1=Sk+1﹣Sk=（aK+1+即aK+1+
=﹣（aK+
）=﹣（
﹣
）﹣（aK++
） ）=﹣2
∴ak+1=﹣．由①②可知对n∈N+，成立．………………（12分） 22．（本题满分12分） （Ⅰ）解 对一切x∈（0，+∞），有2xln x≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2ln x+x+， 设h（x）=2ln x+x+（x＞0），则h′（x）=
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减少的， 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增加的， 所以h（x）min=h（1）=4．
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，
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立， 所以a≤h（x）min=4．…（5分） （Ⅱ）证明：问题等价于xln x＞
﹣（x∈（0，+∞）），
f（x）=xln x（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取到， 设m（x）=
﹣（x∈（0，+∞）），则m′（x）=
，
易知m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到． 从而对一切x∈（0，+∞），都有ln x＞
﹣
成立． …（12分）
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