巧用圆锥曲线定义解题

巧用圆锥曲线定义解题

圆锥曲线的两种定义，第二定义体现了“形”的统一，第一定义体现了“质”的区别。两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。下面谈谈定义在求解圆锥曲线问题中的一些应用。

一、利用定义求轨迹

例1. 已知圆C：为

的椭圆，以l为准线，且过

是C的动切线，切点为E。离心率

，求其相应焦点P的轨迹方程。

分析：问题的关键在于如何运用定义找出P与的关系。

解：如图1，分别过作切线l的垂线，垂足分别为M、N、E。

图1

由椭圆的定义可得：。

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∴

又，则点P的轨迹为椭圆，

其方程为。

二、利用定义求最值

例2. 如图2，是双曲线＝1的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的

一点，P为双曲线右支上的一点，求：

图2

（1）的最小值；

（2）的最小值。

分析：（1）和式“”与双曲线第一定义有质的区别，是否可设法转化为“差”

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呢？（2）关键在于处理的系数，于是联想到，可用第二定义转化。

略解：（1）。

（2）

（其中|PH|为P到右准线l的距离）。

例3. 如图3，抛物线时a的最小值。

，椭圆＝1（）。求两曲线有公共点

图3

解：抛物线焦点为F（4，0），准线为l：。

椭圆焦点为F（4，0）、。

设两曲线交于点A，从A作l的垂线，垂足为H。

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则

则当H、A、F*共线时，2a有最小值。

此时，A的纵坐标为4，代入，得A（1，4）。

再将A点坐标代入椭圆方程得，从而。

文化点精：本题的难点在于如何运用定义作为桥梁，找出H、A、F*共线时2a达到最小值这个切入点。

三、利用定义判定某些位置关系

例4. 设l是经过双曲线的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两

点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？

解：如图4，分别过A、B及圆心M作双曲线右准线的垂线

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图4

垂足分别为

则

（其中e为双曲线的离心率，R为圆的半径）。

故有两个交点。

引申与思考：若双曲线改为椭圆、抛物线会出现什么样的结果呢？

四、利用定义求解某些几何问题

例5. 已知：半圆的直径AB长为2r，半圆外的直线足为T，

。半圆上有相异两点

与BA的延长线垂直，垂

满足|MP|：

，它们与直线l的距离

|AM|＝|NQ|：|AN|＝1。求证：|AM|＋|AN|＝|AB|。

解：建立如图5所示的直角坐标系，

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图5

则M、N既在抛物线上，又在圆上

联立得：。

若设，则有，

而，

则。

综上，运用圆锥曲线的定义解题，通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解。

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