实变函数期末考试卷A卷

2009 – 2010学年第二学期 07级数学与应用数学专业

系（部） 班 级 学 号 姓 名

河

实变函数 试卷（A）卷及答案

题 号 得 分 阅卷人 一 二 三 四 合计 北

科技师范学

得 分 阅卷人 一、 判断题（每题2分，共20分）

院 1.若A是B的真子集，则必有AB。 （×） 装

2.必有比a小的基数。 （√） 3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若E，则m*E0。 （×） 6.任何集ERn都有外测度。 （√）

订7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×）

线 8.可测集的所有子集都可测。 （×）

9.若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意子集上也可测。（×） 10.f(x)在E上可积必积分存在。 （×）

１

得 分

阅卷人 二、填空题（每空2分，共20分）

1.设B是R1中无理数集，则B c 。

2.设A1,,,,,R1，则A0  ，A' {0} 。

231111n3.设An(n1n1,1),n0,1,2,，则An (1,1) ，An {0} 。

n0n14.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。 5.设E是[0,1]上的Cantor集，则mE 0 。 6.设A是闭集，B是开集，则A\\B是 闭 集。

7.闭区间[a,b] 上的有界函数f(x)Rimann可积的充要条件是 f(x) 是[a,b]上的几乎处处的连续函数 。

8. Rimann函数是 Rimann可积也是Lebesgue 可积的。 得分 阅卷人 1三、计算题（每题10分，共20分）

1.计算lim(R)n1nx22201nxsin3nxdx。（提示：使用Lebesgue

控制收敛定理）

1解：设fn(x)nx2221nxsin3nx(n1,2,)，则

（1） 因fn(x)在[0,1]上连续，所以是可测的； （2）limfn(x)0,x[0,1]；

n ２

（3）因为

111nx2221nxsin3nxnx2221nxnx22nx12xF(x)

显然F(x)在[0,1]上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有

11lim(R)n1nx22201nxsin3nxdxlim(L)n1nx22201nxsin3nxdx0

x,x为大于1的无理数;2. 设f(x)x2,x为小于1的无理数；试计算f(x)dx。

[0,2]0,x为有理数，

解：因为有理数集的测度为零，所以

f(x)x2 a.e. 于[0,1]， f(x)x a.e. 于[1,2]。

于是

[0,2]f(x)dx[0,1]f(x)dx[1,2]f(x)dx

116 

10xdx221xdx1332

３

得分 阅卷人 

四、证明题（每题8分，共40分）

1. 证明：A\\(An)n1(A\\A)

nn1证明：A\\(An)A(n1n1An)

cc A(An)

n1n1 =(AAn)

c (A\\An)

n12. 设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明

M是至多可列集。

证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。

3. 证明：若mE0，则E为可测集。 证明：对任意点集T，显然成立着

mTm(TE)m(TE)。

c另一方面，因为mE0，而TEE，所以m(TE)mE，于

c是m(TE)0。又因为TTE，所以mTm(TEc)，从而

４

mTm(TE)m(TE)。

c总之，mTm(TE)m(TEc)。故E是可测集。

4. 可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数

r，集合E[f(x)r]是可测集。

5. 证明区间[a,b]上的任何单调函数f(x)为有界变差函数，并求全变差。

５

６

７

8