实变函数期末考试重点

实变函数考试重点题目

第一章：求极限 Eg：求

An(1n,n)的上下极限

liminfAn下极限

nm1nm(1n1,n)m1(1m1,m)(0,)

limsupAn上极限

n(n,n)(m,m)(0,)m1nmm1

P24页 第5题

5、设F是[0,1]上全体实函数所构成的集合,F2c.

证明：(1)设E(x)为E的示性函数,A{E|E[0,1]},B{E(x)|E[0,1]}F,

显然A~B,于是2cABF；

(2)设Gf{(x,f(x))|x[0,1]},C{Gf|fF},D{P|P[0,1]R},

c显然F~CD,于是FCD2,总之,F2c.

P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题

2.设一元实函数f(x)C(R)aR,G{x|f(x)a}是开集,

F{x|f(x)a}是闭集.

证明：(1)x0G,取f(x0)a0,因f(x)C(x0),

那么对于0,0,s.t.|xx0|时, |f(x)f(x0)|,

即f(x)f(x0)a,从而N(x0,)G,所以G是开集.

(2)x0F,互异点列{xk}Fs.t.xkx0,显然f(xk)a,

因f(x)C(x0),有f(x0)limf(xk)a,即x0F,

k于是FF,所以所以F是闭集.

n12、设实函数f(x)C(R)GO,f1(G)O.

证明：“”GO,x0f1(G),

因f(x0)GO,0s.t.f(x0)N(f(x0),)G,

那么对于0,0,s.t.xN(x0,),均有f(x)N(f(x0),)G, 从而xf1(G),于是N(x0,)f1(G),所以f1(G)O.

“”x0Rn,0,由于GN(f(x0),)O, 那么x0f1(G)O,这样0s.t.N(x0,)f11(G),

n从而xN(x0,)f(G),均有f(x)N(f(x0),),即f(x)C(R).

P42页 定理4

P44页 定理2 定理3

定理2：非空ERn,d0,U{x|(x,E)d}  EUO. 证明：显然EU.xU,取d(x,E)0,yU(x,),

有(y,E)(y,x)(x,E)(x,E)d

可见yU,这样xU(x,)U, EUO.

P45页 第5.6题

5、设非空ERn,则(P,E)在Rn上一致连续.

证明：0,取,P,QRn,只要(P,Q),由于

(P,E)(P,Q)(Q,E),(Q,E)(Q,P)(P,E),

有|(P,E)(Q,E)|(P,Q),

所以, (P,E)在Rn上一致连续.

n6、非空F1,F2Cf(P)C(R)s.t.0f(P)1,且f(P)0,PF1;f(P)1,PF2.

证明：显然f(P)(P,F1)(P,F1)(P,F2)C(R),0f(P)1,且

n f(P)0,PF1;f(P)1,PF2.

P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题

5、设实函数f(x)在[a,b]上连续,E{(x,y)|yf(x),axb},证明m*E0. 证明：因为f(x)C[a,b],于是f(x)在[a,b]上一致连续,那么

0, 0, s.t. 当|st|,时,|f(t)f(s)|.

取

ban,将[a,b]进行n等分,其分点为ax0x1xnb,

记Ii[xi1,xi],Ji[f(xi),f(xi)],显然,

nnE{(x,y)|yi1n*f(x),xIi}(Ii1iJi),

ni 0mEm(Ii1Ji)[m(Ii1i)m(Ji)]

n(i1ban2)2(ba),于是,由的任意性,知mE0.

*7、m*E0,证明必xE,s.t.0,都有m*(EN(x,))0.

*证明：反证.假设xE,x0,使得m(EN(x,x))0,当然存在以有理数为端点的区间

Ixs.t.xIxN(x,x),由于{Ix}至多有可数个,记作{Jk},有E(EJk1k)那么

0mE*mk1***(EJk)0,这与条件mE0不符,说明必xE,s.t.0,都有m(EN(x,))0.

P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题

4、设{Em}M,证明m(liminfEm)liminfmEm.

mm又m(Em),证明m(limsupEm)limsupmEm.

m1mmmk证明：因EkEm,有m(liminfEm)m(kmE)limm1kmmEkmkliminfmEm.

m又因EkEm,m(Em),

kmm1k有m(limsupEm)m(mE)limm1kmmEkmklimsupmEm.

m

5、设{Em}M,m(Em),证明limsupmEm0.

m1m证明：因EkEm,m(Em)kmm1m(Em1m),有

km0m(limsupEm)m(mE)limm(Ek)limmkmm(Ekmk)0,

m1km所以limsupmEm0.

mP103页 第2题

2、证明当f(x)既是E1上又是E2上的非负可测函数时,f(x)也是E1E2上的非负可测函数. 证明：由条件知 aR,E[x;f(x)a,xE1]Mn,E[x;f(x)a,xE2]Mn,

于是E[x;f(x)a,xE1E2]E[x;f(x)a,xE1]E[x;f(x)a,xE1]Mn 所以f(x)也是E1E2上的非负可测函数.

P104页 第6 11题

6、设实函数f(x)C(Rn),证明:EM,均有f(x)M(E). 证明：EM,aR,显然G(a,)O,下面证明fx0f11(G)M.

(G){x|f(x)a,xR},

n因f(x0)GO,0s.t.f(x0)N(f(x0),)G,

这样对于0,0,s.t.xN(x0,),均有f(x)N(f(x0),)G,从而xf于是N(x0,)f由于f111(G),

(G),那么f1(G)OM.

1(G){x|f(x)a,xE}Ef(G)M,

所以f(x)M(E).

11、设f(x)是E上的可测函数,g(y)是R上的连续函数,证明g[f(x)]是E上的可测函数.

1证明：aR,因g(y)C(R),若G(,a)O,有g(G){y|g(y)a}O

1由于x{x|g[f(x)]a}g[f(x)]af(x)g(G)xf1[g1(G)],

于是{x|g[f(x)]a}f所以g[f(x)]M(E).

1[g1(G)]M,

P117页 第2题

2、设|fk(x)|Ka.e.E,fk(x)f(x)xE, 证明|f(x)|Ka.e.E. 证明：mN,当|fk(x)f(x)|1mm,|fk(x)|K时,|f(x)||fk(x)f(x)||fk(x)|K1m ]1m,

于是mEmm[x;|f(x)|Km[x;|fk(x)f(x)|m[x;|fk(x)f(x)|1m1m]m[x;|fk(x)|K]]0,k,

m有mEm0,因{Em},有m[x;|f(x)|K]limEm0 所以|f(x)|Ka.e.E.

课件 第四章第四节 倒数第2~5题

3、定理：设fk(x)f(x),fk(x)g(x)xE, 则f(x)~g(x). 证明： m,kN, 若|f(x)fk(x)|12mmmE,|fk(x)g(x)|1m12m,

有|f(x)g(x)||f(x)fk(x)||fk(x)g(x)|于是 E[x;|f(x)g(x)|1,

1]E[x;|fk(x)g(x)|1],

2m2m11]mE[x;|fk(x)g(x)|]000, 从而mE[x;|f(x)g(x)|]mE[x;|f(x)fk(x)|m2m2mm1]E[x;|f(x)fk(x)|又因 E[x;f(x)g(x)]m1E[x;|f(x)g(x)|1m],有 mE[x;f(x)g(x)]0,

所以f(x)~g(x).

1、设fk(x)f(x),gk(x)g(x),xE, 证明fk(x)gk(x)f(x)g(x). 证明：已知,0,当|fk(x)f(x)|2mmmE,|gk(x)g(x)|2,时,

,

|[fk(x)gk(x)][f(x)g(x)]||fk(x)f(x)||gk(x)g(x)|由于fk(x)f(x),gk(x)g(x),xE,有

0m[x;|[fk(x)gk(x)][f(x)g(x)]|]m[x;|fk(x)f(x)|mmm

2]0,

2]m[x;|gk(x)g(x)|

所以fk(x)gk(x)f(x)g(x).

2、设fk(x)f(x),g(x)M(E)且几乎处处有限, 证明fk(x)g(x)f(x)g(x). 证明：已知,fk(x)f(x),g(x)在E上几乎处处有限,

那么0,0,K0s.t.

, m[x;|g(x)|K] m[x;|fk(x)f(x)|]K22mmmm[x;|fk(x)g(x)f(x)g(x)|] m[x;|fk(x)f(x)||g(x)|]]

m[x;|fk(x)f(x)|K]m[x;|g(x)|K]m[x;|fk(x)f(x)|mK]m[x;|g(x)|K],

所以fk(x)g(x)f(x)g(x).

3、设fk(x)0,证明fk2(x)0.

证明：已知,fk(x)0,那么0,0,s.t. m[x;|fk(x)f(x)|有m[x;|fk(x)0|]m[x;|fk(x)|22],所以fk(x)0.

mmmm],