信号与系统答案

一、 填空题(共20分，每小题 2 分)

1、xt3cos4t 是 （选填：是或不是）周期信号， 若是，其基波周3期T=/2。 2、xncos8 。 3

、

信

号

xtcos2tsin3tn4 是 （选填：是或不是）周期信号，若是，基波周期 N= 6的傅里叶变换Xj=

[(2)(2)]j[(3)(3)]。

4、一离散LTI系统的阶跃响应snn2n1，该系统的单位脉冲响应

hn [n][n1]2[n2] 。

5、一连续LTI系统的输入xt与输出yt有如下关系：yt系统的单位冲激响应ht e(t2) 。 6、一信号xt3e6。

4T4tet2xd，该

ut2，Xj是该信号的傅里叶变换，求Xjd

7、周期性方波x(t)如下图所示，它的二次谐波频率2 。

xt

-T

8、设X(ej-T/2 -T1 T1 T/2 T

20t X(ej

)d 2 。

)是下图所示的离散序列x[n]傅立叶变换，则《信号与系统》试卷第 1 页 共 5 页

xn-1 -2 -1 1

0 1 2 3 n

9、已知一离散实偶周期序列x[n]的傅立叶级数系数ak 如图所示，求x[n]的周期N=

8 。

ak

. . .

-8

0

2. . .

8

2z5z1k

10、一因果信号xn，其z变换为Xz2 。

z1z2，求该信号的初值x0

二、 判断题(判断下列各题，对的打√，错的打×)(共20分，每小题2分)

1、已知一连续系统的频率响应为H(j)3ej(位失真。（ × ）

2、已知一个系统的单位冲击响应为h(t)etu(t2)，则该系统是非因果系统。（ √ ）

3、如果x(t)是有限持续信号，且绝对可积，则X(s)收敛域是整个s平面。（ √ ） 4、已知一左边序列x[n]的Z变换Xz存在。（ × ）

sin1000t5、对xt进行采样，不发生混叠现象的最大采样间隔t225)，信号经过该系统不会产生相

5z111z13z2，则x[n]的傅立叶变换

Tmax0.5ms。（ √ ）

6、一个系统与其逆系统级联构成一恒等系统，则该恒等系统是全通系统。（ √ ） 7、离散时间系统S，其输入为x[n]，输出为y[n]，输入-输出关系为：y[n]nx[n]则该系统是LTI系统。（ × ） 8、序列信号x[n]2nu(n1)的单边Z变换等于

12z1。（ √ ）

《信号与系统》试卷第 2 页 共 5 页

9、如果x[n]的傅立叶变换是X（ej）jsin()cos(5)，则x[n]是实、奇信号。

（ √ ）

10010、若x(t)

cos(k)ejk250t，则它的傅立叶级数系数为实、奇函数。（ × ）

k100三、 计算或简答题(共40分，每小题 8 分)

1、f1 t与f2 t 波形如下图所示，试利用卷积的性质,画出f1 (t) f 2 ( t) 的

波形。

解：

2、如下图所示系统，如果H1(j)是截止频率为hp、相位为零相位的高通滤波器，

求该系统的系统函数H(j)，H(j)是什么性质的滤波器？

xt

H1j H+ - + yt

j

解：

y(t)x(t)x(t)h1(t)Y(j)X(j)X(j)H1(j) H(j)Y(j)X(j)1H1(j)《信号与系统》试卷第 3 页 共 5 页

低通滤波器。

3、设x(t)为一带限信号，其截止频率ωm = 8 rad/s。现对x(4t) 采样，求不发生

混迭时的最大间隔Tmax

解：

设 x(t)的傅立叶变换为X(jω) 则 x(4t) 的傅立叶变换为X(j)14X(j4)，

∴ x(4t) 的截止频率ωm = 32 rad/s， ∴ 21Tmax64, Tmax32s，

4、系统函数为H(s)s1(s3)(s2)的系统是否稳定，请说明理由?

解： 该系统由2个极点，s1=-3和s2=2，

1) 当系统的ROC：σ<-3时，ROC不包括jω轴，∴系统是不稳定的。

2) 当系统的ROC：σ>2时，ROC不包括jω轴，∴系统是不稳定的。

3) 当系统的ROC：-3<σ<2时，ROC包括jω轴，∴系统是稳定的。

5、已知一个因果离散LTI系统的系统函数H(z)其逆系统是否稳定？并说明理由。 解：逆系统的系统函数为 G(Z)155z12z1,其逆系统也是因果的，

1H(Z)2z15z1 ，

G(Z)有一极点z，

∵逆系统是因果的， ∴G(Z)的ROC：z∴逆系统是稳定的。

四、 （10分）关于一个拉普拉斯变换为Xs的实信号xt给出下列5个条件：（1）Xs只有两个极点。（2）Xs在有限S平面没有零点。（3）Xs有一个极点在s1j。（4）e2t15，包含单位圆，

（5）、X02xt是绝对可积的。。试确定Xs并给出它的收敛域。

解：

设X(s)的两个极点为s1和s2， 根据条件（1）、（2），可设X(s)A(ss1)(ss2)，A为常数；

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∵ x(t)是实信号；

∴ s1和s2是共轭复数，s1=-1+j，s2=-1-j; ∴ X0A(1j)(1j)4(s1j)(s1j)2, A=4；

∴ X(s)

由条件（4）可知：Xs的ROC：σ>-1 .

五、 （10分）一个LIT因果系统，由下列差分方程描述：

y(n2)34y(n1)18y(n)e(n2)13e(n1)

（1） 求系统函数Hz，并绘出其极零图。 （2） 判断系统是否稳定，并求hn。

解：

（1）对差分方程两边做Z变换

zY(z)234zY(z)218Y(z)zE(z)213zE(z)

H(z)Y(z)E(z)zz213Im[z] z1834 ，z12.

z13 0 Re[z]

14 12

10（2） H(z)3zz1273z-z14

因为Hz的极点均在单位圆内，且收敛域包含单位圆，所以系统稳定。

101n71n h[n]3(2)3(4)u(n) 《信号与系统》试卷第 5 页 共 5 页