1.3空间几何体的表面积与体积基础练习

一、选择题：

1．过正三棱柱底面一边的截面是

A．三角形 B．三角形或梯形 C．不是梯形的四边形 D．梯形 2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于

A．

D．六棱锥 D．3

（ ） （ ）

（ ） （ ）

1 22B．1 C．2

4．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了

A．6a

B．12a2

C．18a2

D．24a2

5．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱

锥A—A′BD的体积

A．

C．3a3

（ ）

D．1a3

126126．两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（ ）

B．3a3

13a 61 2A．B．1 C．2 D．3

7．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ）

A．2：3：5 B．2：3：4 C．3：5：8 D．4：6：9

8．直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可 铸成这样的小球的个数为 （ ）

A．5 B．15 C．25 D．125 9．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为

A．

（ ）

 B． 26C．

 4D．

 310．中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（ ） A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8 二、填空题：

11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为Q1，Q2，直平行六面体的侧面积为_____________． 12．正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为43cm，则它的侧面积为_________． 13．球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍． 14．已知正三棱锥的侧面积为183 cm,高为3cm. 求它的体积 ． 三、解答题：

15．①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱． 已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积； ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥. 已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积．

2

16．四边形ABCD，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得 旋转体的体积．

17．如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，h1 圆锥内水面高为h2，求h2.

h,若将圆锥倒置后， 3

18．如图，三棱柱 ABCABC中，P为AA上一点，求 VPBBCC:VABCABC．

19．如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底面边长为b，大

底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

20．（14分）已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． （1）求圆柱的侧面积；

（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大．

参考答案（三）

一、BDDBC BDDBA

二、11．2Q12Q22； 12．30三、15．①解：母线l3 cm2； 13．8； 14．93cm3.

2r

S侧cl2r2r4r2S全4r22r26r2

②解：母线l2r

S侧rlr2r2r2S全2r2r23r2

16．解：V圆锥

118r2h222 333117V圆台h(r2R2Rr)1(221221)

333VV圆锥V圆台5

17．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它

们的体积之比为对应高的立方比. 解： VSAB

VSCD2h8 3()3h27

小结：此题若用

V水V锥319191919333倒置后：V水:V锥h2:hh2hh 272732713

1V水V台计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用h1h导出来，我们用

3V水V锥V空，而V空与V锥的体积之间有比例关系，可以直接求出.

18．解法一：设

SBBCCS,AA到平面BBCC的距离为 h，则VPBBCC1Sh 3 把三棱柱

ABCABC接补成以DDCC和BBCC为相邻侧面的平行六面体，此平行六面体体积为原三

1Sh23

13Sh2棱柱体积的两倍.

VABCABCV1ShPBBCC2VABCABC

解法二： VPBBCCVABCABCVPABCVPABC

设SABCm，棱柱的高为n，则三棱柱的体积mn

12VPBBCCVABCABCVPABCVPABCmnmn(P到两底距离之和为n)mn33

2VPABCC:VABCABC3小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底，有利于体积变换. 关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解.

19．分析：这是一个棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，要认真分析各有

所以

解：如图，过高OO1和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1，设OO1h，

14bEO12bEO121S台侧(4a4b)EE12(ab)EE12bEO12abEE1①

2ba由于OO1E1E是直角梯形，其中OE，O1E122S锥侧abb2由勾股定理有EE1h，EO1h2②2222222 ①式两边平方，把②代入得：

22bab2222bhabh224

22解得h2a(2ba)1a(2ba)所以h4a(a2b)2a2b0，b0，所以此题当且仅当a2b时才有解.

222

显然，由于a

小结：在棱台的问题中，如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱有关，则需要应用

通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直角三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一.

20．解：（1）设内接圆柱底面半径为r.

S圆柱侧2rx①②代入①

rHxRHrR(Hx)② HS圆柱侧2xR2R(Hx)x2Hx(0xH) HH （2）S圆柱侧

2Rx2HxHxH时2S圆柱侧最大22RHH2x H24RH

2