二次函数的图象与性质知识点总结

【学习目标】

1.会用描点法画二次函数yax2bxc(a0)的图象；会用配方法将二次函数yax2bxc的解析式写成ya(xh)2k的形式；

2.通过图象能熟练地掌握二次函数yax2bxc的性质；

3.经历探索yax2bxc与ya(xh)2k的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】

要点一、二次函数yax2bxc(a0)与ya(xh)2k(a0)之间的相互关系1.顶点式化成一般式

从函数解析式ya(xh)2k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称

2

ya(xh)2k为顶点式，将顶点式ya(xh)2k去括号，合并同类项就可化成一般式yax2bxc．

2.一般式化成顶点式

222b2bbbyaxbxcaxxcaxxcaa2a2a2b4acb2． ax2a4a4acb2b对照ya(xh)k，可知h，k．

4a2a22b4acb2b,∴ 抛物线yaxbxc的对称轴是直线x，顶点坐标是．

2a4a2a2要点诠释：

b4acb2b,1．抛物线yaxbxc的对称轴是直线x，顶点坐标是，可以当作公

2a4a2a2式加以记忆和运用．

2．求抛物线yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

2要点二、二次函数yax2bxc(a0)的图象的画法

1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：

(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．

(2)求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点，

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质1.二次函数yax2bxc(a0)图象与性质

函数 二次函数yax2bxc（a、b、c为常数，a≠0） a0图象 a0开口方向 对称轴 向上 直线x向下 b2a直线xb2a顶点坐标 b4acb2,2a4a在对称轴的左侧，即当xb4acb2,2a4a增减性 bb时，y随x的增在对称轴的左侧，即当x时，y2a2ab随x的增大而增大；在对称轴的右侧，大而减小；在对称轴的右侧，即当x时，b2a即当x时，y随x的增大而减y随x的增大而增大．简记：左减右增 2a小．简记：左增右减抛物线有最低点，当xbb时，y有最小值，抛物线有最高点，当x时，y有2a2a最大值，y最大值最大(小)值 y最小值4acb24a4acb24a2.二次函数yax2bxc(a0)图象的特征与a、b、c及b-4ac的符号之间的关系

2

项目 字母 a b 字母的符号 a＞0 a＜0 ab＞0(a，b同号) ab＜0(a，b异号) c=0 c＞0 c＜0 b-4ac=0 2图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 图象过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 c b-4ac 2b-4ac＞0 b-4ac＜0 22要点四、求二次函数yax2bxc(a0)的最大（小）值的方法

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当xb时，2ay最值4acb2．

4ab是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若2a要点诠释：

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看4acb2b在此范围内，则当x时，y最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围

4a2a内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，y最大值ax2bx2c；当x＝x1时，y最小值ax1bx1c，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，y最大值=ax1+bx1+c；当x＝x2时，y最小值=ax2+bx2+c，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，x时y值的情况．

2222b2a【典型例题】

类型一、二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质

1．求抛物线y【答案与解析】

12xx4的对称轴和顶点坐标． 21211xx4(x22x)4(x22x11)4222112 (x1)422172 (x1)．

22解法1（配方法）：y∴ 顶点坐标为1,解法2（公式法）：∵ a7，对称轴为直线x1． 21b，b1，c4，∴ x22a112()21，

124(4)14acb272．

4a2142∴ 顶点坐标为1,解法3（代入法）：∵ a∴ x7，对称轴为直线x1． 21，b1，c4， 2b2a11．

122122将x1代入解析式中得，y114∴ 顶点坐标为1,7． 27，对称轴为直线x1． 2【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式

b4acb2,化成顶点式；（2）用顶点公式（3）利用公式先求顶点的横坐直接代入求解；2a4a标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

举一反三：

【高清课程名称：二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质 高清ID号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题1】 【变式】把一般式y2x28x6化为顶点式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；

（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).

（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.

2．（2015•聊城）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；

③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．

2

【答案】①④．

【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣

=1，

∴2a+b=0，所以①正确； ∵x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，

即a+c＜b，所以②错误；

∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0） 而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∴b=﹣2a＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0，

∴abc＞0，所以④正确． 故答案为①④．

【总结升华】本题考查了二次函数图象与系数之间的对应关系，难度适中.

类型二、二次函数yax2bxc(a0)的最值

3．求二次函数y【答案与解析】

121x3x的最小值. 22解法1(配方法)：∵ y12111(x6x)(x26x329)222212 (x3)4，

2∴ 当x＝-3时，y最小4．

110，b＝3，c22b3∴ 当x3时，

12a221143224acb1922y最小4．

14a242121 解法3(判别式法)：∵ yx3x，∴ x26x(12y)0．

22 解法2(公式法)：∵ a∵ x是实数，∴ △＝6-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4． ∴ y有最小值-4，此时x26x90，即x＝-3．

【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程

度灵活去选择．

举一反三：

【高清课程名称：二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质 高清ID号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题2】

【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，

矩形场地的面积S最大？ 【答案】SL(30L)

2

(L230L)(L15)2225（0L15（m）时，场地的面积S最大，为225m2．

类型三、二次函数yax2bxc(a0)性质的综合应用

4．已知二次函数yxbxc1的图象过点P(2，1)． （1）求证：c2b4； （2）求bc的最大值．

2【答案与解析】

（1）∵ yxbxc1的图象过点P(2，1)，

∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．

（2）bcb(2b4)2(b22b)2(b1)22．

∴ 当b1时，bc有最大值．最大值为2．

【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c的关系即可．

（2）利用（1）中b与c的关系，用b表示bc，利用函数性质求解．

举一反三：

【变式】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax+bx+c的图象，下列结论：

2

①二次三项式ax+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；

③一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（ ）

2

2

2A.1个【答案】B.

B.2个 C.3个 D.4个

2

提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax+bx+c的最大值为4，①正确；

∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；

根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误； 使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误， 故选：B．

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