2018-2019学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁RA=（ ） A．{x|x≥3或x≤﹣1} ≤x≤3}
D．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|x＞3或x＜﹣1}
C．{x|﹣1
2．（5分）函数f（x）=（x+1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（ ） A．x﹣y+1=0
B．x﹣y﹣1=0
C．2x﹣y+1=0
D．2x﹣y﹣1=0
3．（5分）已知a∈R，则“＜1”是|a|＞1的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x=﹣2，则输出y的值为（ ）
A．0
5．（5分）已知a=（ ） A．c＜a＜b
B．1
，b=（
C． D．
）2，c=ln3，则a，b，c的大小关系是
B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
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6．（5分）等比数列{an}的前n项和Sn=a+1﹣（ ） A．
B．
C．
，（a，b∈R），若a4=，则=
D．
7．（5分）已知a＞0，b＞0，且A．8
B．6
，则2a+的最小值是（ ） C．4
D．2
8．（5分）已知函数f（x）=根的个数是（ ） A．4
二、填空题
B．3
，则方程f（x）+f（2﹣x）=3实数
C．2 D．1
9．（5分）某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生 个．
10．（5分）已知实数x，y满足约束条件则目标z=2x+y的最大值是
11．（5分）两个函数y=为
与y=x﹣2，它们的图象及y轴围成的封闭图形的面积
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（a+1）＞f（﹣2），则a的取值范围是 13．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB=BC=2，CD=1，∠ABC=BC上一动点，则
的最小值为
，E是
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14．（5分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜的一条对称轴是x=是
三、解答题
15．（13分）在△ABC中，cosA=（1）求c及sinC的大小； （2）求cos（2C+B）的值．
，a=2
，b=5．
，且在区间
），若f（x）的图象
上单调递增，则w的取值范围
16．（13分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S5=25，a13=7a3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．
sin2x+sin4+cos4﹣．
17．（13分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[18．（13分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的极值；
]上的最大值和最小值．
．
（2）求证：对任意a∈（﹣2，﹣1），关于x的方程f（x）=ax﹣2lnx恰有一解． 19．（14分）已知数列{an}满足
（n∈N*），a1=1．
（1）令
（n∈N*），求证：数列{bn}为等比数列；
（2）求证：．
（0＜
），且[0，
]上
20．（14分）已知函数f（x）=（2a﹣1）xsinx﹣的最大值为
．
（1）求函数f（x）的解析式；
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（2）判断f（x）在（0，π）内的零点的个数，并加以证明．
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2018-2019学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁RA=（ ） A．{x|x≥3或x≤﹣1} ≤x≤3}
D．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|x＞3或x＜﹣1}
C．{x|﹣1
【解答】解：全集为R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}， 则∁RA={x|x≤﹣1或x≥3}． 故选：A．
2．（5分）函数f（x）=（x+1）ex的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（ ） A．x﹣y+1=0
B．x﹣y﹣1=0
C．2x﹣y+1=0
D．2x﹣y﹣1=0
【解答】解：由f（x）=（x+1）ex得 f′（x）=（x+1）ex+ex=ex（x+2）， ∴f′（0）=2， 又f（0）=1，
∴函数f（x）=（x+1）ex图象在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=2（x﹣0）， 即y=2x+1． 故选：C．
3．（5分）已知a∈R，则“＜1”是|a|＞1的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a∈R，由|a|＞1⇔a＞1，或a＜﹣1．∴“＜1”，反之不成立．例如取a=﹣．
∴“＜1”是|a|＞1的必要不充分条件． 故选：B．
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4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x=﹣2，则输出y的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：模拟程序的运行，可得： x=﹣2，y=0，
不满足判断框内的条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=0，y=1 不满足判断框内的条件|y﹣x|＜1，执行循环体，x=1，y= 满足判断框内的条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为． 故选：C． 5．（5分）已知a=（ ） A．c＜a＜b 【解答】解：a=∴0＜a＜1． b=（
）2=（logπe）2
B．c＜b＜a =logπe，
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
，b=（
）2，c=ln3，则a，b，c的大小关系是
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∴b＜a．
c=ln3＞lne=1，即e＞1． ∴b＜a＜c． 故选：D．
6．（5分）等比数列{an}的前n项和Sn=a+1﹣（ ） A．
B．
C． ﹣（a+1﹣
D． ）=
，
，（a，b∈R），若a4=，则=
【解答】解：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=a+1﹣∵a4=，∴=
，解得b=4．
a1=a+1﹣=，解得a=3． 则=． 故选：A．
7．（5分）已知a＞0，b＞0，且A．8
B．6
，则2a+的最小值是（ ） C．4 ，
D．2
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且∴b=
＞0，
∴a＞1， 则2a+=2a+当且仅当a﹣1=
=2[（a﹣1）+
]+2≥6，
即a=2时取等号，
∴2a+的最小值最小值6． 故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）=根的个数是（ ） A．4
，则方程f（x）+f（2﹣x）=3实数
B．3 C．2
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D．1
【解答】解：函数f（x）=，
当2﹣x＜0，此时x＞2，方程f（x）+f（2﹣x）=3化为：2+2﹣x+（x﹣2）3=3，即（x﹣2）3=x﹣1，函数y=（x﹣2）3，y=x﹣1，x＞2时图象如图：
图象有1个交点，方程有1个解；
当0≤2﹣x≤2，此时0≤x≤2，方程f（x）+f（2﹣x）=3化为：2﹣x+2﹣（2﹣x）=3，无解；
当2﹣x＞2，此时x＜0，方程f（x）+f（2﹣x）=3化为：2+x+（2﹣x﹣2）3=3，即x﹣1=x3，函数y=x3，y=x﹣1，x＜0时图象如图：
有一个交点，方程有一个解．
则方程f（x）+f（2﹣x）=3实数根的个数是2个． 故选：C．
二、填空题
9．（5分）某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高
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二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生 24 个． 【解答】解：设应在高一年级抽取学生数为n，
∵某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生， 用分层抽样的方法抽取一个样本，在高二、高三共抽取了48个学生， ∴
解得n=24，
∴应在高一年级抽取学生为24个． 故答案为：24．
，
10．（5分）已知实数x，y满足约束条件则目标z=2x+y的最大值是
5 【解答】解：作出实数x，y满足约束条件
对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时， 直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 即A（2，1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5． 即目标函数z=2x+y的最大值为5． 故答案为：5．
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11．（5分）两个函数y=为
与y=x﹣2，它们的图象及y轴围成的封闭图形的面积
【解答】解：联立直线与曲线的方程解得
，
：
对于y=x﹣2，令x=0，则y=﹣2，
结合定积分与几何图形面积的关系可得阴影部分的面积为y2dy =（y2+2y）|故答案为：
，
﹣（y3）|
=8﹣=
，
（y+2）dy﹣
12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递
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增，若实数a满足f（a+1）＞f（﹣2），则a的取值范围是 ﹣3＜a＜1 【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0]上单调递增 由f（a+1）＞f（﹣2）， 可得|a+1|＜|﹣2| 即（a+1）2＜4 解得：﹣3＜a＜1． 故答案为：﹣3＜a＜1．
13．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB=BC=2，CD=1，∠ABC=BC上一动点，则
的最小值为 ，E是
【解答】解：过C作CF⊥AB，垂足为F， ∵AB=BC=2，CD=1，∠ABC=∴BF=1，CF=
，AF=1，
，
∵AE∥CD，即四边形AECD为矩形，
以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∵AB=BC=2，∠ABC=60°， ∴A（0，0），C（1，∴∵∴y﹣∴y=﹣∵
=（x，y），=+=（x﹣1，y﹣
，
=0 ，
=（x，y﹣=
），B（2，0），D（0，1），设E（x，y）， ），
=（1，﹣
），
），
=4x2﹣9x+6（1≤x≤2）
当x=时，有最小值
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故答案为：
14．（5分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜的一条对称轴是x=是
，且在区间
），若f（x）的图象
上单调递增，则w的取值范围
【解答】解：函数f（x）=sin（wx+φ），（w＞0，0＜φ＜且f（x）的图象的一条对称轴是x=∴
w+φ=
， ＜；
上单调递增， w+φ，
，
），
∴w=﹣
又f（x）在区间∴﹣
w+φ＜wx+φ＜
∴，
w≤2；
综上，w的取值范围是0＜w＜． 故答案为：0＜w＜．
三、解答题
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15．（13分）在△ABC中，cosA=（1）求c及sinC的大小； （2）求cos（2C+B）的值． 【解答】解：（1）cosA=得解得∵∴∵∴
（2）由（1）知∴∴∵
，∴
．
，
，
，
；
（
，a=2，即舍去）． ，∴角A为钝角，
，
，a=2，b=5．
，b=5，代入a2=b2+c2﹣2bccosA，
，
，且易知角C是锐角，
．
，
由题意知角B是锐角，∴∴cos（2C+B）=
=．
16．（13分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S5=25，a13=7a3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】（1）设数列{an}的公差为d，∵S5=25，a13=7a3， ∴
，解得
………………（2分）
∵an=a1+（n﹣1）d，∴所求通项公式为an=3n﹣4………………（4分）
第13页（共18页）
（2）∵，∴………………（5分）
∵Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn ∴
………………（6分）
………………（7分）
上式减下式得：
………………（8分）
==∴
………………（10分）
………………（12分）
………………（13分）
sin2x+sin4+cos4﹣．
17．（13分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[【解答】解：（1）======∴
]上的最大值和最小值．
………………（1分）
………………（2分）
………………（3分）
………………（4分）
………………（5分）
，
………………（7分）
上单调递增；在区间
第14页（共18页）
∴f（x）的最小正周期为（2）函数f（x）在区间
上单调递
减………………（9分）
，
∴f（x）在区间分）
18．（13分）已知函数f（x）=（1）求f（x）的极值；
（2）求证：对任意a∈（﹣2，﹣1），关于x的方程f（x）=ax﹣2lnx恰有一解． 【解答】解：（1）
=
………………（1分）
．
，
………………（12分）
上的最大值为，最小值为
．………………（13
令f'（x）=0，得x=1或x=2………………（2分）
∵x＞0，∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：………………（4分）
x f'（x） f（x） （0，1） + ↗ 1 0 极大值 （1，2） ﹣ ↘ 2 0 极小值 （2，+∞） + ↗ ∴当x=1时，f（x）的极大值为；………………（5分）
当x=2时，f（x）的极小值为f（2）=2ln2﹣4．………………（6分） （2）证明：方程f（x）=ax﹣2lnx即令g（x）=
，则
………………（7分） ………………（8分）
∵x＞0，∴g'（x）≥4﹣（a+3）=1﹣a………………（9分）
∵a∈（﹣2，﹣1），∴1﹣a＞0，∴g'（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增…………（10分） ∵g（1）=
，
∴函数g（x）在区间（1，e）上至少有一个零点，………………（12分）
考虑到函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，
即方程f（x）=ax﹣2lnx恰有一个解．…………（13分）
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，
19．（14分）已知数列{an}满足
（n∈N*），a1=1．
（1）令
（n∈N*），求证：数列{bn}为等比数列；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）∵，
∴………………（2分）
∴=，………………（4分）
∵a1=1，∴………………（5分）
∴数列{bn}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列．………………（6分） （2）由（1）知，∵∵=
，………………（7分）
，即
，∴………………（9分）
………………（11分）
∴=
．………………（14分）
（0＜
），且[0，
]上
………………（12分）
20．（14分）已知函数f（x）=（2a﹣1）xsinx﹣
第16页（共18页）
的最大值为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，π）内的零点的个数，并加以证明． 【解答】解：（1）∵（1分） 由题意，
号……………（2分） 即
在
………（3分）
令g（x）=xsinx，则g'（x）=sinx+xcosx＞0 ∴函数g（x）在∴∴（2）∵①当x∈（7分） ∵
（8分） ②当x∈
时，令h（x）=sinx+xcosx
时单调递
，∴函数（fx）在
上有唯一零点………………
上单调递增…………（4分） ，解得a=1………………（5分）
………………（6分）
∴f'（x）=sinx+xcosx 时，∵f'（x）≥0，∴函数（fx）在
上单调递增………………
上恒成立，且能取到等号，即
在
上恒成立，且能取到等
，所以
，
，∴2a﹣1＞0………………
∵h'（x）=2cosx﹣xsinx＜0，∴函数h（x）即f'（x）当x∈减……………（9分） 又∵
=0………………（10分） ∴当
时，f'（x）＞0；当x0＜x≤π时，f'（x）＜0
，∴存在唯一
使f'（x0）
第17页（共18页）
∴f（x）在注意到∴函数f（x）在分）
上单调递增，在（x0，π）上单调递减………………（11分） ，f（π）＜0，∴f（x0）＞0………………（12分）
上没有零点，在[x0，π]上有唯一零点………………（13
由①②得函数f（x）在（0，π）内恰有两个零点．………………（14分）
第18页（共18页）
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