大学数学老师讲考研数学之十

微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。

线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。

“能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的” 线性模型去近似非线性模型。即 非线性模型 = 线性模型 + 尾项（非线性模型－线性模型）， 关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。

把这个思想落实到函数上，就是，在中心点 x0 邻近，能否有Δy = AΔx + 尾项， 尾项 = Δy－AΔx 能否是比Δx 高阶的无穷小？

如果能，就称函数在点 x0 可微分。简称可微。记 dy = AΔx ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。

将可微定义等式两端同除以 Δx ，令 Δx 趋于零取极限即知，若函数在点 x0 可微，则 常数 A 就是函数在点x0的导数f ′(x0)；从而Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；

其中，ο(Δx) 表示“比 Δx 高阶的无穷小。”

或 Δy = dy + ο(Δx) ； dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx

要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx 高阶的无穷小，如果∣Δx∣适当小,那么，绝对誤差也能相应地适当小。 不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式： f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx) 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 近一步可以证明，可微与可导等价。

例 41 设函数f（u）可导，y = f（x平方）,当自变量 x 在点 x = －1 取得增量 Δx = －0.1 时，相应的函数增量 Δy 的线性主部为 0.1 ，则 f ′(1) = _______

分析 Δy 的线性主部 即是微分 dy ，而 y′(x) = f′(u)2x , y′(1) = －2f′(1) 故 dy = y′(x) dx 具体为 0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得 f ′(1) = 1/2

函数 f（x）在一个区间上可导时，我们记微分 dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。

函数可微，且f ′(x0)≠0 时，还可以把可微定义等式变形为

Δy / f ′(x0)Δx = 1 +ο(Δx)∕f ′(x0)Δx

令Δx → 0 取极限，即知 Δy 和 dy 是等价无穷小。

为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在 x → 0 过程中

sinx ～ x ； ln（1+x）～ x ；exp(x)－1 ～ x ；√（1+ x）－1 ～ x∕2 它们都是在原点计算 Δy 和 dy 而获得的。最好再记住 1－cosx ～ x平方∕2 两条经验：

（1）常用等价无穷小的拓展—— 例如 ，若在 x → 0 过程中，α（x）是无穷小，则

sin α（x） ～ α（x） ； ln（1+ α（x））～ α（x） ；exp (α（x）)－1 ～ α（x）

√（1+ α（x））－1 ～ α（x）∕2 ； 1－cos α（x） ～ α（x）平方∕2 （2）等价无穷小的差为高阶无穷小。

例42 设当 x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x平方）是比 xsin(x的n次方) 高阶的无穷小； 而后式是比 exp（x平方）－1 高阶的无穷小，则正整数 n = ？

分析 x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x平方）为4次方级的无穷小；xsin(x的n方) 是 n+1 次方级；

exp（x平方）－1 是 2 次方级，由已知，2＜n+1＜4 ，只有 n = 2

我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。

例43 设在区间 [1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），试补充定义函数值 f（1），使函数在闭区间上连续。

分析 （1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点 1 的左极限。

（2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成“无穷－无穷”未定式。

（3）“计算无穷－无穷，能通分时先通分”。 通分后化为 0/0 型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。

（4）公分母 为π(1－x）sinπx ,可以考虑 在点 1 计算 sinπx 的等价无穷小

因为 sinπ= 0 ,故 Δy = sinπx ；而 dy =πconπΔx = －π（x－1）

作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。 学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的 0/0 型未定式极限。作个对比。

例44 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f (0)≠0 ，f ′(0) ≠0，若

a f（h）+ b f（2h）－f（0）在 h → 0 时是较 h 高阶的无穷小，试确定数 a 和 b 的值。

分析 由高阶无穷小的定义得 h → 0 时 lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0

记 F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F 连续。于是（用“基本推理”） 由极限式与连续性推出 F(0)= lim F(h) =（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有 a + b + 1 = 0

同时 （F(h)－F(0)) / h = F(h) / h ，再由极限式得 F ′(0)= 0

实际上， F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)， F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0

这就有第二个方程 a + 2b = 0 ；联解之，a = －2 ，b = 1

*分析二 换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。

设想 h 充分靠近 0，则 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +ο(x) （中心点是原点，Δx = x － 0 = x）

故 f（h）= f（0）+ f ′(0)h +ο(h) f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)

从而 a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f ′(0)h +ο(h)

要它在 h → 0 时是比 h 高阶的无穷小，常数项和 h 项系数必需为 0 ，获得两个方程。