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大学数学老师讲考研数学之十

来源:客趣旅游网
大学数学老师讲考研数学之十:微分是个新起点

微分学研究函数的方法,是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。

线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题,总是件很困难的事。到朋友家要上楼,如果他们家的楼梯是非线性的,多半你会摔个跟头。

“能否把非线性问题线性化?”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上,非线性问题就是非线性问题,所谓“线性化”,只是用一个“合适的” 线性模型去近似非线性模型。即 非线性模型 = 线性模型 + 尾项(非线性模型-线性模型), 关键在于表示尾项,研究尾项!找到尾项可以被控制的逼近模型。

把这个思想落实到函数上,就是,在中心点 x0 邻近,能否有Δy = AΔx + 尾项, 尾项 = Δy-AΔx 能否是比Δx 高阶的无穷小?

如果能,就称函数在点 x0 可微分。简称可微。记 dy = AΔx ,称为函数的微分,又称为函数的线性主部。

将可微定义等式两端同除以 Δx ,令 Δx 趋于零取极限即知,若函数在点 x0 可微,则 常数 A 就是函数在点x0的导数f ′(x0);从而Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ;

其中,ο(Δx) 表示“比 Δx 高阶的无穷小。”

或 Δy = dy + ο(Δx) ; dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx

要是需要,我们可以丢去尾项,微局部地得到函数值的(线性的)近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx 高阶的无穷小,如果∣Δx∣适当小,那么,绝对誤差也能相应地适当小。 不丢尾项,我们得到函数的一个新的(微局部地)有特定含义的表达式: f(x)= f(x0)+ Δy = f(x0)+ f ′(x0)Δx +ο(Δx) 历史上,这个表达式称为,“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 近一步可以证明,可微与可导等价。

例 41 设函数f(u)可导,y = f(x平方),当自变量 x 在点 x = -1 取得增量 Δx = -0.1 时,相应的函数增量 Δy 的线性主部为 0.1 ,则 f ′(1) = _______

分析 Δy 的线性主部 即是微分 dy ,而 y′(x) = f′(u)2x , y′(1) = -2f′(1) 故 dy = y′(x) dx 具体为 0.1 = y′(1)( -0.1) ,解得 f ′(1) = 1/2

函数 f(x)在一个区间上可导时,我们记微分 dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。

函数可微,且f ′(x0)≠0 时,还可以把可微定义等式变形为

Δy / f ′(x0)Δx = 1 +ο(Δx)∕f ′(x0)Δx

令Δx → 0 取极限,即知 Δy 和 dy 是等价无穷小。

为了考试,要尽可能记住一些常用的等价无穷小,例如在 x → 0 过程中

sinx ~ x ; ln(1+x)~ x ;exp(x)-1 ~ x ;√(1+ x)-1 ~ x∕2 它们都是在原点计算 Δy 和 dy 而获得的。最好再记住 1-cosx ~ x平方∕2 两条经验:

(1)常用等价无穷小的拓展—— 例如 ,若在 x → 0 过程中,α(x)是无穷小,则

sin α(x) ~ α(x) ; ln(1+ α(x))~ α(x) ;exp (α(x))-1 ~ α(x)

√(1+ α(x))-1 ~ α(x)∕2 ; 1-cos α(x) ~ α(x)平方∕2 (2)等价无穷小的差为高阶无穷小。

例42 设当 x → 0 时,(1-cosx)ln(1+x平方)是比 xsin(x的n次方) 高阶的无穷小; 而后式是比 exp(x平方)-1 高阶的无穷小,则正整数 n = ?

分析 x → 0 时,(1-cosx)ln(1+x平方)为4次方级的无穷小;xsin(x的n方) 是 n+1 次方级;

exp(x平方)-1 是 2 次方级,由已知,2<n+1<4 ,只有 n = 2

我们还可以学会主动选定中心点,计算Δy和dy来获得等价无穷小。

例43 设在区间 [1/2,1)上,f(x)= 1/πx + 1/sinπx-1/π(1-x),试补充定义函数值 f(1),使函数在闭区间上连续。

分析 (1)点1是右端点,按照连续的定义,应该补充定义f(1)为函数在点 1 的左极限。

(2)观察函数结构,第一项是连续函数求极限。第二,三项形成“无穷-无穷”未定式。

(3)“计算无穷-无穷,能通分时先通分”。 通分后化为 0/0 型未定式。求商的极限是否顺利,关健在于分母。要尽可能先简化分母。

(4)公分母 为π(1-x)sinπx ,可以考虑 在点 1 计算 sinπx 的等价无穷小

因为 sinπ= 0 ,故 Δy = sinπx ;而 dy =πconπΔx = -π(x-1)

作等价无穷小因式替换,分母变成二次函数,再用洛必达法则求极限,一定顺利。 学习本是为了用,该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的 0/0 型未定式极限。作个对比。

例44 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的一阶导数,且 f (0)≠0 ,f ′(0) ≠0,若

a f(h)+ b f(2h)-f(0)在 h → 0 时是较 h 高阶的无穷小,试确定数 a 和 b 的值。

分析 由高阶无穷小的定义得 h → 0 时 lim (a f(h)+ b f(2h)-f(0)) / h = 0

记 F(h)= a f(h)+ b f(2h)-f(0),F 连续。于是(用“基本推理”) 由极限式与连续性推出 F(0)= lim F(h) =(a + b + 1)f(0)= 0 ,只有 a + b + 1 = 0

同时 (F(h)-F(0)) / h = F(h) / h ,再由极限式得 F ′(0)= 0

实际上, F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h), F ′(0) = (a + 2b)f ′(0) = 0

这就有第二个方程 a + 2b = 0 ;联解之,a = -2 ,b = 1

*分析二 换一个思考方法,可微分定义式给了函数一个新的(微局部意义的)表达式。试用一下。

设想 h 充分靠近 0,则 f(x)= f(0)+ f ′(0)x +ο(x) (中心点是原点,Δx = x - 0 = x)

故 f(h)= f(0)+ f ′(0)h +ο(h) f(2h)= f(0)+ f ′(0)2h +ο(h)

从而 a f(h)+ b f(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)+(a+2b)f ′(0)h +ο(h)

要它在 h → 0 时是比 h 高阶的无穷小,常数项和 h 项系数必需为 0 ,获得两个方程。

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