压轴题选讲 一选择题
1．某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值用代数式表示为( ) A．（1﹣10%+15%）x万元 B．（1+10%﹣15%）x万元 C．（x﹣10%）（x+15%）万元 D．（1﹣10%）（1+15%）x万元
2．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2b D．﹣2b
3．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：①⊥1是⊥B的余角；②图中互余的角共有3对；③⊥1的补角只有⊥ACF；④与⊥ADB互补的角共有3个．则上述结论正确的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是由一副三角尺拼成的图案，它们有公共顶点O，且有一部分重叠，已知⊥BOD=40°，则⊥AOC的度数是( )A．40° B．120° C．140° D．150°
二填空题
1．如图，线段AB=8，C是AB的中点，点D在直线CB上，DB=1.5，则线段CD的长等于 ．
2．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动2个单位长度到达点 A1，第二次将点A1，向右移动4个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动6个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离等于19，那么n的值是 ．
3．如图所示，甲乙两人沿着边长为60cm的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以60m/min的速度，乙从B点以69m/min的速度行走，两人同时出发，当乙第一次追上甲时，用了____________．
4．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=______________．
1
5．AB=6，如图，长方形ABCD中，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到长方形AnBnCnD（，若ABn的长度为56，则n= ． nn＞2）
三、解答题
1．如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示． （1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值； （2）若点C、D运动时，总有MD=2AC，直接填空：AM=AB； （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求
的值．
2．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． （1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
2
3．甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？ 4．（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分⊥AOC与⊥BOC．求⊥EOF的度数； （2）如图2，若⊥AOC=⊥BOD=80°，OE、OF分别平分⊥AOD与⊥BOC．求⊥EOF的度数；
（3）若⊥AOC=⊥BOD=α，将⊥BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分⊥AOD与⊥BOC．若α+β≤180°，α＞β，则⊥EOC= ．（用含α与β的代数式表示）
5．如图，已知⊥AOB=90°，以O为顶点、OB为一边画⊥BOC，然后再分别画出⊥AOC与⊥BOC的平分线OM、ON． （1）在图1中，射线OC在⊥AOB的内部． ①若锐角⊥BOC=30°，则⊥MON=45°； ②若锐角⊥BOC=n°，则⊥MON=45°．
（2）在图2中，射线OC在⊥AOB的外部，且⊥BOC为任意锐角，求⊥MON的度数． （3）在（2）中，“⊥BOC为任意锐角”改为“⊥BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求⊥MON的度数．
6．如图，⊥AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
3
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
7．如图，⊥AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s．P、Q同时出发，设运动时间是t（s）． （1）当点P在MO上运动时，PO= cm （用含t的代数式表示）； （2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？ （3）若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由．
8．60゜的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，如图，两个形状．大小完全相同的含有30゜、且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：⊥DPC=90゜；
PF平分⊥APD，PE平分⊥CPD，（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，求⊥EPF；
（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3゜/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2゜/秒，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止
⊥CPD=________ （用含有t的代数式表示，转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则⊥BPN=__________，并化简）；以下两个结论：①号）．
压轴题选讲解析 一选择题
4
为定值；②⊥BPN+⊥CPD为定值，正确的是___________（填写你认为正确结论的对应序
1．某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值用代数式表示为( ) A．（1﹣10%+15%）x万元 B．（1+10%﹣15%）x万元 C．（x﹣10%）（x+15%）万元 D．（1﹣10%）（1+15%）x万元 【考点】列代数式．
【分析】根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解． 【解答】解：3月份的产值为：（1﹣10%）（1+15%）x万元． 故选D．
【点评】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键． 2．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a
C．2b
D．﹣2b
【考点】整式的加减；数轴；绝对值． 【专题】计算题；整式．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜﹣1＜0＜b＜1， ⊥a﹣b＜0，a+b＜0，
则原式=b﹣a﹣a﹣b=﹣2a． 故选A．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作CA⊥BE交射线BF于点C，AD⊥BF交射线BF于点D，给出下列结论：①⊥1是⊥B的余角；②图中互余的角共有3对；③⊥1的补角只有⊥ACF；④与⊥ADB互补的角共有3个．则上述结论正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】余角和补角．
【分析】根据已知推出⊥CAB=⊥CAE=⊥ADC=⊥ADB=90°，再根据三角形内角和定理和三角形外角性质，互余、互补的定义逐个分析，即可得出答案． 【解答】解：⊥CA⊥AB， ⊥⊥CAB=90°，
⊥⊥1+⊥B=90°，即⊥1是⊥B的余角，⊥①正确；
图中互余的角有⊥1和⊥B，⊥1和⊥DAC，⊥DAC和⊥BAD，共3对，⊥②正确； ⊥CA⊥AB，AD⊥BC， ⊥⊥CAB=⊥ADC=90°，
⊥⊥B+⊥1=90°，⊥1+⊥DAC=90°， ⊥⊥B=⊥DAC，
⊥⊥CAE=⊥CAB=90°，
⊥⊥B+⊥CAB=⊥DAC+⊥CAE， ⊥⊥ACF=⊥DAE，
⊥⊥1的补角有⊥ACF和⊥DAE两个，⊥③错误； ⊥⊥CAB=⊥CAE=⊥ADC=⊥ADB=90°，
5
⊥与⊥ADB互补的角共有3个，⊥④正确； 故选C．
【点评】本题考查了互余、互补，三角形内角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，但是比较容易出错． 4．如图是由一副三角尺拼成的图案，它们有公共顶点O，且有一部分重叠，已知⊥BOD=40°，则⊥AOC的度数是( )
A．40° B．120° C．140° D．150° 【考点】角的计算．
【分析】根据同角的余角相等即可求解． 【解答】解：⊥⊥AOB=⊥COD=90°， ⊥⊥AOD+⊥BOD=⊥BOC+⊥BOD=90°， ⊥⊥AOD=⊥BOC=90°﹣⊥BOD=50°， ⊥⊥AOC=⊥AOD+⊥BOD+⊥BOC=140°， 故选C．
【点评】此题主要考查了角的计算，余角的性质，熟记余角的性质是解题的关键
二填空题
1．如图，线段AB=8，C是AB的中点，点D在直线CB上，DB=1.5，则线段CD的长等于 2.5或5.5 ．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据题意求出线段CB的长，分点D在线段CB的延长线上和点D在线段CB上两种情况、结合图形计算即可．
【解答】解：⊥线段AB=8，C是AB的中点， ⊥CB=AB=4，
如图1，当点D在线段CB的延长线上时， CD=CB+BD=5.5，
如图2，当点D在线段CB上时， CD=CB﹣BD=2.5． 故答案为：2.5或5.5．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．
2．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动2个单位长度到达点 A1，第二次将点A1，向右移动4个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动6个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离等于19，那么n的值是 18或19 ．
6
【考点】数轴．
【专题】推理填空题．
【分析】根据题意可以分别写出点A移动的规律，当点A奇数次移动后对应数的都是负数，偶数次移动对应的数都是正数，从而可知An与原点的距离等于19分两种情况，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，
第奇数次移动的点表示的数是：1+（﹣2）×第偶数次移动的点表示的数是：1+2×， ⊥点An与原点的距离等于19， ⊥当点n为奇数时，则﹣19=1+（﹣2）×解得，n=19；
当点n为偶数，则19=1+2× 解得n=18．
故答案为：18或19．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是明确题意，可以分别写出点A奇数次和偶数次移动的关系式．
3．如图所示，甲乙两人沿着边长为60cm的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点以60m/min的速度，乙从B点以69m/min的速度行走，两人同时出发，当乙第一次追上甲时，用了20min．
，
，
【考点】一元一次方程的应用． 【专题】几何动点问题．
【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上90×3，根据其相等关系列方程得69x=60x+60×3，解方程即可得出答案．
【解答】解：设乙第一次追上甲用了x分钟， 由题意得：69x=60x+60×3， 解得：x=20． 答：用了20min． 故答案为：20
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
4．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=16．
7
【考点】规律型：图形的变化类． 【分析】由图可知：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
【解答】解：第一个图形有：5个○， 第二个图形有：2×1+5=7个○， 第三个图形有：3×2+5=11个○，
第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○， 则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245 解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）． 故答案为：16．
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形． 5．AB=6，如图，长方形ABCD中，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到长方形AnBnCnDn（n＞2），若ABn的长度为56，则n= 10 ．
【考点】平移的性质． 【专题】规律型．
【分析】根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，进而求出AB1和AB2的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．
【解答】解：⊥AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1， 第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…， ⊥AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1， ⊥AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11， ⊥AB2的长为：5+5+6=16；
⊥AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16， ⊥ABn=（n+1）×5+1=56， 解得：n=10． 故答案为：10．
A1A2=5是解题关键． 【点评】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，
三、解答题
1．如图，M是定长线段AB上一定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上，点C、点D分别从点M、点B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示． （1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值； （2）若点C、D运动时，总有MD=2AC，直接填空：AM=AB； （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求
的值．
8
【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离． 【专题】几何动点问题． 【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB；
（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．
【解答】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm，
⊥AB=10cm，CM=2cm，BD=4cm，⊥AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣4=4cm； （2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC， ⊥MD=2AC，⊥BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM， ⊥AM+BM=AB，⊥AM+2AM=AB，⊥AM=AB．故答案为；
（3）当点N在线段AB上时，如图．
⊥AN﹣BN=MN，又⊥AN﹣AM=MN，⊥BN=AM=AB，⊥MN=AB，即当点N在线段AB的延长线上时，如图．
⊥AN﹣BN=MN，又⊥AN﹣BN=AB，⊥MN=AB，即
=1．综上所述，
=或1． =；
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
2．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒．（1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． 【考点】一元一次方程的应用；数轴． 【分析】（1）可设x秒后甲与乙相遇，根据甲与乙的路程差为34，可列出方程求解即可；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，分甲应为于AB或BC之间两种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1）设x秒后甲与乙相遇，则4x+6x=34，解得 x=3.4，4×3.4=13.6，﹣24+13.6=﹣10.4． 故甲、乙在数轴上的﹣10.4相遇；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，
9
B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应为于AB或BC之间．
①AB之间时：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40 解得y=2； ②BC之间时：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40， 解得y=5．
①甲从A向右运动2秒时返回，设y秒后与乙相遇．此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同． 甲表示的数为：﹣24+4×2﹣4y；乙表示的数为：10﹣6×2﹣6y， 依据题意得：﹣24+4×2﹣4y=10﹣6×2﹣6y，解得：y=7，
相遇点表示的数为：﹣24+4×2﹣4y=﹣44（或：10﹣6×2﹣6y=﹣44）， ②甲从A向右运动5秒时返回，设y秒后与乙相遇．
甲表示的数为：﹣24+4×5﹣4y；乙表示的数为：10﹣6×5﹣6y， 依据题意得：﹣24+4×5﹣4y=10﹣6×5﹣6y， 解得：y=﹣8（不合题意舍去），
即甲从A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为﹣44．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答第二问注意分类思想的运用．
3．甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶．已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地．在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？ 【考点】一元一次方程的应用．
【分析】在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，第一次是从甲地驶往乙地时，快车追上慢车，根据追上时快车行驶的路程=慢车行驶的路程列方程求解；第二次是快车到达乙地后返回甲地时与慢车相遇，根据相遇时快车行驶的路程+慢车行驶的路程=甲、乙两地之间的路程×2列方程求解． 【解答】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得 120x=80（x+1）， 解得x=2，
则慢车行驶了3小时．
设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣120（y﹣1﹣
）+80y=720×2，
）小时，由题意得
解得y=8，
8﹣3=5（小时）．
答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 4．（1）如图1，若CO⊥AB，垂足为O，OE、OF分别平分⊥AOC与⊥BOC．求⊥EOF的度数； （2）如图2，若⊥AOC=⊥BOD=80°，OE、OF分别平分⊥AOD与⊥BOC．求⊥EOF的度数；
（3）若⊥AOC=⊥BOD=α，将⊥BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分⊥AOD与⊥BOC．若α+β≤180°，α＞β，则⊥EOC=
．（用含α与β的代数式表示）
10
【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）根据垂直的定义得到⊥AOC=⊥BOC=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到⊥EOD=⊥AOD=×（80+β）=40+β，⊥COF=⊥BOC=×（80+β）=40+β，根据角的和差即可得到结论；
（3）如图2由已知条件得到⊥AOD=α+β，根据角平分线的定义得到⊥DOE=（α+β），即可得到结论． 【解答】解：（1）⊥CO⊥AB， ⊥⊥AOC=⊥BOC=90°， ⊥OE平分⊥AOC，
⊥⊥EOC=⊥AOC=×90°=45°， ⊥OF平分⊥BOC，
⊥⊥COF=⊥BOC=×90°=45°， ⊥EOF=⊥EOC+⊥COF=45°+45°=90°；
（2）⊥OE平分⊥AOD，
⊥⊥EOD=⊥AOD=×（80+β）=40+β， ⊥OF平分⊥BOC，
⊥⊥COF=⊥BOC=×（80+β）=40+β， ⊥COE=⊥EOD﹣⊥COD=40+ β﹣β=40﹣β； ⊥EOF=⊥COE+⊥COF=40﹣ β+40+β=80°；
（3）如图2，⊥⊥AOC=⊥BOD=α，⊥COD=β， ⊥⊥AOD=α+β， ⊥OE平分⊥AOD， ⊥⊥DOE=（α+β）， ⊥⊥COE=⊥DOE﹣⊥COD=
=，
如图3，⊥⊥AOC=⊥BOD=α，⊥COD=β， ⊥⊥AOD=α+β， ⊥OE平分⊥AOD， ⊥⊥DOE=（α﹣β），
11
⊥⊥COE=⊥DOE+⊥COD=综上所述：故答案为：
， ．
．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，解题的关键是找出题中的等量关系列方程求解．
OB为一边画⊥BOC，ON． 5．如图，已知⊥AOB=90°，以O为顶点、然后再分别画出⊥AOC与⊥BOC的平分线OM、
（1）在图1中，射线OC在⊥AOB的内部． ①若锐角⊥BOC=30°，则⊥MON=45°； ②若锐角⊥BOC=n°，则⊥MON=45°．
（2）在图2中，射线OC在⊥AOB的外部，且⊥BOC为任意锐角，求⊥MON的度数． （3）在（2）中，“⊥BOC为任意锐角”改为“⊥BOC为任意钝角”，其余条件不变，（图3），求⊥MON的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）①由角平分线的定义，计算出⊥MOA和⊥NOA的度数，然后将两个角相加即可；②由角平分线的定义，计算出⊥MOA和⊥NOA的度数，然后将两个角相加即可；
（2）由角平分线的定义，计算出⊥MOA和⊥NOA的度数，然后将两个角相减即可； （3）由角平分线的定义，计算出⊥MOA和⊥NOA的度数，然后将两个角相加即可． 【解答】解：（1）①⊥⊥AOB=90°，⊥BOC=30°， ⊥⊥AOC=60°，
⊥OM，ON分别平分⊥AOC，⊥BOC，
⊥⊥COM=AOC，BOC，
⊥⊥MON=⊥COM+⊥CON=⊥AOB=45°， 故答案为：45°，
②⊥⊥AOB=90°，⊥BOC=n°， ⊥⊥AOC=（90﹣n）°，
⊥OM，ON分别平分⊥AOC，⊥BOC， ⊥⊥COM=
AOC=（90﹣n）°，
BOC=n°，
12
⊥⊥MON=⊥COM+⊥CON=⊥AOB=45°， 故答案为：45°；
（2）⊥⊥AOB=90°，设⊥BOC=α， ⊥⊥AOC=90°+α，
⊥OM，ON分别平分⊥AOC，⊥BOC， ⊥⊥COM=
AOC，
BOC，
⊥⊥MON=⊥COM﹣⊥CON=⊥AOB=45°， （3）⊥OM，ON分别平分⊥AOC，⊥BOC， ⊥⊥COM=
AOC，
BOC，
⊥⊥MON=⊥COM+⊥CON=（⊥AOC+⊥BOC）=（360°﹣90°）=135°．
【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出⊥COM和⊥CON的大小．
6．如图，⊥AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）． （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义． 【专题】探究型． 【分析】（1）根据题意可得，射线OC与OD重合时，20t=5t+120，可得t的值；
（2）根据题意可得，射线OC⊥OD时，20t+90=120+5t或20t﹣90=120+5t，可得t的值；
（3）分三种情况，一种是以OB为角平分线，一种是以OC为角平分线，一种是以OD为角平分线，然后分别进行讨论即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， 20t=5t+120 解得t=8，
即t=8min时，射线OC与OD重合； （2）由题意得，
20t+90=120+5t或20t﹣90=120+5t， 解得，t=2或t=14
即当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD； （3）存在，
由题意得，120﹣20t=5t或20t﹣120=5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t=5t， 解得t=4.8或t=
或t=12，
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即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t
的值为12min．
【点评】本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．如图，⊥AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s．P、Q同时出发，设运动时间是t（s）． （1）当点P在MO上运动时，PO= cm （用含t的代数式表示）； （2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使OP=OQ？ （3）若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由．
8．60゜的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，如图，两个形状．大小完全相同的含有30゜、且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：⊥DPC=90゜；
PF平分⊥APD，PE平分⊥CPD，（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，求⊥EPF；
（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3゜/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2゜/秒，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则⊥BPN=180﹣2t，⊥CPD=90﹣t （用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①
为定值；②⊥BPN+⊥CPD为定值，正确的是
①（填写你认为正确结论的对应序号）． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）利用含有30゜、60゜的三角板得出⊥DPC=180°﹣⊥CPA﹣⊥DPB，进而求出即可； （2）设⊥CPE=⊥DPE=x，⊥CPF=y，则⊥APF=⊥DPF=2x+y，进而利用⊥CPA=60゜求出即可；
（3）首先得出①正确，设运动时间为t秒，则⊥BPM=2t，表示出⊥CPD和⊥BPN的度数即可得出答案． 【解答】解：（1）⊥⊥DPC=180°﹣⊥CPA﹣⊥DPB，⊥CPA=60°，⊥DPB=30°， ⊥⊥DPC=180゜﹣30゜﹣60゜=90゜；
（2）设⊥CPE=⊥DPE=x，⊥CPF=y， 则⊥APF=⊥DPF=2x+y， ⊥⊥CPA=60゜， ⊥y+2x+y=60゜，
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⊥x+y=30゜
⊥⊥EPF=x+y=30゜
（3）①正确．
设运动时间为t秒，则⊥BPM=2t，
⊥⊥BPN=180﹣2t，⊥DPM=30﹣2t，⊥APN=3t． ⊥⊥CPD=180﹣⊥DPM﹣⊥CPA﹣⊥APN=90﹣t， ⊥
=
=．
②⊥BPN+⊥CPD=180﹣2t+90﹣t=270﹣3t，可以看出⊥BPN+⊥CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误． 故答案为：180﹣2t；90﹣t；①．
【点评】此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
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