2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(全国乙
卷)
数学(理科)试题(解析版)
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A．第一象限C．第三象限【解析】
复平面内对应的点2．已知全集（ ）A．【解析】
B．
，
C．.故选：C.
D．
位于第四象限.故选：D，集合
，集合
，则
，则在复平面内对应的点位于（ ）B．第二象限D．第四象限
，
1
3．已知命题
中为真命题的是（ ）A．
【解析】因为因为
，有，故命题
对于A：因为p假q真，所以对于B：因为p假q真，所以对于C：因为q真，所以对于D：p假，故D错误.故选：B4．若函数（ ）A．
【解析】因为所以所以整理得
5．已知各棱长均为的正三棱柱则异面直线A．【解析】取
与
B．是,即B．
，命题，则下列命题
C．，所以命题
，而对勾函数
在为真命题.
为假命题，故A错误；为真命题，故B正确；
D．
为假命题.
单调递减，所以
为假命题，故C错误；
是定义在上的偶函数,则
C．1上的偶函数,
,
,,所以
．故选：C.中,
D．2
分别为的中点,
所成角的余弦值为（ ）B．
C．,又
,
D．
的中点,连接
2
∴由∴
或补角)为异面直线
则
,由
与所成的角,
,则
,且
,
.故选：C.
6．某校为庆祝建党一百周年,要安排一场共11个节目的文艺晚会,除第1个节目和最后一个节目已经确定外,3个音乐节目要求排在2,6,9的位置,3个舞蹈节目必须相邻,3个曲艺节目没有要求,共有不同的演出顺序（ ）种A．144
B．192
C．216种排法,共6种排法；
种排法；
D．324
【解析】①先排3个音乐节目有
②再排3个舞蹈节目只能排3、4、5位置,共③再排3个曲艺节目,共∴由分步乘法记数原理有7．将函数
种排法；
种排法．故选：C．
的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移
个单位长度,得到的图像的一个对称中心为（ ）.A．
【解析】将函数
B．
C．
D．
的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到
,.故选：
,再向右平移个单位长度,得到
令D.8．已知圆
,在圆内随机取一点P,以点P为中点作弦AB,则弦长,有
,可得图像的一个对称中心为
3
的概率为（ ）
A．【解析】当半径为1和半径为故选：B．
9．1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”,是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面,悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A,B）,则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1,一条直线l垂直于一个平面,直线l有两点A,B位于平面的同侧,求平面上一点C,使得建立如图2所示的平面直角坐标系.设A,B两点的坐标分别为设点C的坐标为
,当
最大时,
（ ）
,
最大.
.
B．时,此时
,若
C．
D．
,则点P必须位于以点C为圆心,的概率为
,
的圆环内,所以弦长
A．2abB．ab
时锐角,且
C．
,而
D．
,
【解析】由题意可知
所以,
而所以当
,当且仅当时,
,即时取等号,,此时
最大,故选：D.
,且
在区间
10．已知命题：函数
上恒成立,则该命题成立的充要条件为（ ）
4
A．C．【解析】∵∴令∵要使则应满足∴当∴
11．已知椭圆一象限,圆若圆A．
与圆
与线段时,
,∴在区间在区间
时,
上恒成立,又上为增函数,,又函数
,即
在
,
,则
B．D．
,,
,,函数
在,
上是增函数,,
上是增函数,.故选：C.
的左、右焦点分别为,
的延长线,线段
与圆
以及轴均相切,
.点在上且位于第的内切圆为圆
.
外切,且圆
B．
的面积之比为4,则的离心率为（ ）
C．
、
在
D．
的角平分线上.如图,
【解析】由已知及平面几何知识可得圆心
设圆线,
、与轴的切点分别为,,由平面几何知识可得,直线为两圆的公切
切点也在由椭圆的定义知所以
的角平分线上,所以
,则,所以
,所以
,
,,
5
.又圆
所以圆即12．已知A．
【解析】对于构造函数当数,若若构造函数
,则,则
,,当,当
增,所以故选：D.
时,,所以成立,
时,时,
,
,,即,
时,
,
与圆
的半径之比为2,因为
与圆的面积之比为4,,所以
.故选：B.
,
,整理得,
,故椭圆的离心率
,则下列关系式不可能成立的是（ ）B．
,两边取对数得
,
是单调递增函数,当
,
时,
,
是单调递减函
C．
,即
D．
,
,故A正确；,故B正确；
单调递增,所以
时,,
,
,单调递
单调递减,当,即
不可能成立,故C正确D错误.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13．已知,是双曲线
直线交双曲线于A,B两点,若三角形为______.【解析】由题知
,即
,即
,
的左,右焦点,过右焦点与实轴垂直的为等腰直角三角形,则双曲线C的离心率
6
解得,又因为
,
,所以
,
,若
,则m=___________.
14．已知向量【解析】由题意可得由
,可得
,解得
,则△ABC的面积是_
15．在△ABC中,D在线段AC上,__．
【解析】由题意,设
,则
,
且,
所以,在△中,则,整理得,
所以,故,则,所以中,底面
为矩形,
面
.
,点P是以
,经研究发现,四棱锥
为
16．如图,在四棱锥
直径的半圆弧上的动点（不含A,D点）,面
的外接球始终保特不变,则该外接球的表面积为______________．
【解析】由题意,为直角三角形,如图．
取取
中点，则，
的中心，连接面，又
，则 ，，
面
．．
中点，则O是正方形
底面面
，则
，且面
已知面故
7
故到四棱锥即为四棱锥故外接球的表面积
各顶点的距离相等．的外接球的球心，半径
．
．
三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．(12分)
某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在体育锻炼时间在
上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外
上的学生评价为锻炼不达标
(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；
(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在
的人数为，求的分布列和数学期望．
【解析】(1)众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．由频率分布直方图可得，在
上的频率为0.32，上．
设中位数为，则(2)根据题意，在其中在
，
，
，
，
，即样本中位数为
．
上的频率为0.08，在
上的频率为0.16，在，则中位数在区间
上抽取的人数分别为1，2，4，3，
上抽取的人数为3，则，1，2，3．
，
8
．
从而得到随机变量的分布列如下表：
0P
随机变量的期望18．(12分)
如图，在四棱锥
，
中，平面，
平面ABCD，，E为棱PC的中点.
，
，
1
2
3
(1)证明：(2)求二面角
平面PAD；
的余弦值.
中，取线段PD的中点F，连接AF，EF，如图，
【解析】(1)在四棱锥
因E为棱PC的中点，则于是得又
，
平面PAD，
，，而，，，
，即四边形ABEF是平行四边形，有平面PAD，所以中，在平面
平面PAD.
(2)在四棱锥内过P作交CD于O，连接AO，
9
因平面
平面
平面ABCD，平面，即有，而
，因，有
平面
，
，则平面，则
，
，
，显然
，则
OA，OC，OP两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有
，
设平面
，
设平面
，
则角，所以二面角19．(12分)
已知数列(1)求证：数列(2)求数列【解析】(1)由由所以
得，即的前n项和为
，且
．
的余弦值是
.
，显然二面角
的平面角为锐
的一个法向量
，则
，令
得：
的一个法向量
，则
，令
，得：
为等差数列；的前n项和．
可得，
，，
10
所以所以数列(2)由（1）
，，
是公差为1，首项为1的等差数列.
，得，所以，
，两式相减得
，
所以20．(12分)
已知函数(1)讨论(2)若【解析】(1) 当当∴
时，时，由在
，
的单调性；，且
，
在R上单调递增，，得
；由
，得上单调递增．
．
，求证：
．
．
.
上单调递减，在时，在
，得，令
，则在R上单调递增；上单调递减，在
综上所述，当当
时，
上单调递增．
，．
(2)证明：由即
，
11
∵当①若②若即证令∵∴
在时，
，∴在，∴
上单调递增，在
或
，
上单调递减．
，显然，要证，若能证
，
，∴
，
，，∴
，∴
，
，原命题得证．
，只需证
，
，则原命题得证，
，
单调递增，∴
．
综上所述，21．(12分)
已知动点P与定点轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点点，直线
的距离和它到定直线的距离之比为，记P的
的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交
交于点N，求证:点N在定直线上．
，∵动点P与定点
的距离和它到定直线
的距
【解析】(1)设动点离之比为，∴(2)设
，
，整理得
，
，∴曲线C的方程为，直线方程
，整理得：
，
，
，
；
与椭圆方程联立
由韦达定理得：由已知得
,
,
，化简得：，
12
则直线的方程为，直线的方程为，
联立直线和： ，代入，、
可得：
所以N点在一条定直线上．
，化简可得：，
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
在平面直角坐标系
中，点
．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极
，曲线C的极坐标方程
轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为为
．
(1)求直线l及曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于A，B两点，求【解析】(1)直线l的极坐标方程化为将
代入得直线的直角坐标方程：
，则
的值．，．
，．
曲线的极坐标方程为将
代入得曲线的直角坐标方程：
，倾斜角
，
(2)直线l经过定点
则直线l的一个标准参数方程为，即 (t为参数)．
13
将代入方程中整理得：．
，直线与曲线的交点必然存在，
设交点A，B所对应的参数值分别为号），则
，即
．
，于是
，
（
异
23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数(1)当
时，求不等式
，
.
的解集；
的解集包含
？若存在，求的取
(2)是否存在实数，使得不等式值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)当
，即
当当当
时，时，时，
时，
，
，整理得：
，解得：，解得：，解得：的解集为：
，结合，结合，结合
.的解集包含
恒成立，，
，由题意得：
，
，解得：
，
得：得：
，
，，
得：，
综上：不等式
(2)假设存在实数，使得不等式即化简为：解得：
对
.
14
故存在实数，使得不等式的解集包含
15
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