具有Chernikov中心化子的局部幂零p-群

Vol. 42 No. 12

西南师范大学学报（自然科学版）

Journal of Southwest China Normal University (Natural Science Edition)

2017年12月

Dec. 2017

DOI:10.13718/l. cnkl.xsxb.2017.12.007

具有Chernikov中心化子的局部幂零p -群®

薛海波、

吕

恒

2

1. 重庆人文科技学院机电与信息工程学院，重庆合川401524#2. 西南大学数学与统计学院，重庆400715

摘要：局部幂零f -群G是Chemikov群的充要条件是G中存在有限子群H ,其中心化子Cc(H)是Chemikov群.关键词：局部幂零群；Chernikov群；极大类f-群中图分类号：O152. 1

文献标志码：A

文章编号：1000 - 5471(2017)12 -0034 -03

群的子群或者元素的中心化子的结构对群的结构和性质有着重要的影响.文献研究了幂零类是2 的有限f-群的任意非正规子群的中心化子是交换群，并给出了这类群的分类.文献[2]研究了有限f-群G 的任意非交换子群H满足| Cg(H) |在有限f-群中，比较著名的结论有& G是有限极大类f-群的充要条件是G存在f2阶子群N满足

Cg(N) $ N.在局部有限群里，文献[3]的推论3. 2给出了局部有限群G，其Slyowf-子群关于子群满足

极小条件当且仅当其存在一个f阶元g，使得Cg(«0关于子群满足极小条件.需要注意的是局部有限群关 于子群满足极小条件当且仅当其是Chernikov群，即是可除阿贝尔群被有限群的扩张.由此可得，局部幂零

f-群是Chernikov f-子群当且仅当其存在一个f阶元g使得Cg(_S〇是Chernikovf-子群.

本文将考虑更一般的情况，即局部幂零f-群G存在一个有限子群F满足CgCF)是Cherikovf-群，我 们将证明这类群也是Chernikov f -群.同时把文献[2]的结论推广到局部幂零f -群里面.

为了方便，我们先给出下面的引理&

引理1[4] 设G是有限f -群，若G存在极大子群是循环群，则

| G | $ f | Z(G) | | G7 |

引理2$]

()秩小于f 一1的可除阿贝尔f-群不存在f阶自同构#

(ii)若局部幂零f-群是幂零群，则其任意可除阿贝尔f-子群包含在中心里.

定理2 局部幂零f -群G是Chernikov f -群的充要条件是G存在有限子群K，其中心化子Cg(H)是

Chernikov

.证 必要性显然.下面证明充分性.

下面假设H $〈^，…，^〉是G的有限子群且Cg(H)是Chernikovf-子群.首先证明当rn$ 1，即

H $〈尤〉时，若Cg(：c)是Chernikov f -群，则G是Chernikov f -群.显然当| ^: | $ f时，由文献[3]的推

论3. 2可知结论已经成立.

设 | z | $ fw # f2.下面证明若 Cg(：c)是 Chernikov f-群，则 CG(：cf)也是 Chernikov f-群.否则，假

①收稿日期& 2016-12-03

基金项目：国家自然科学基金项目（11471266);中央高校基本科研业务专项基金项目（XDJK2015B033). 作者简介：薛海波（1K80-)，女，山西运城人，讲师，主要从事群论的研究.通信作者：吕恒，教授.

0Ce(：r#)不是Ch-niko; 群.则由文献[6]的定理14. 3(1)可得，Ce$r#)存在无限初等交换子群£.令

子群K =U，£〉•由商群仄八^〉= K也不是Chernikov ^-群，再由文献[3]的推论3. 2可得，CuG)也 不是C-niko; f-群，其中S = z〈：r#〉•因此CxG)存在无限初等交换子群A且包含设子群使 得A = /!〈:r#〉•显然A是幂零群，U〉是A的正规子群•于是可得CA(:r)是无限子群，即CA(:rV〈？〉是 无限初等交换子群.因此，CA(:r)关于子群不满足极小条件，这与Ce(r)是Ch-niko;f-群相矛盾•于是可 知，当 CG(:c)是 Cherniko; f -群当且仅当 CG(:cf)是 Cherniko; f -群•进而可得，当 CG(:c)是 Cherniko;

f -群时，Ce(:cf )是Cherniko; f -群•而| zf f-群.

| = f •于是由文献[3]的推论3. 2可知，G是Cherniko;

若饥#2.下面对饥进行归纳证明.令子群压=〈而，），：^—1〉，于是

Cg(N) = C〇(Ni) F Gg'„) = CCcWl)',)

由于 Cc〇(Hl)',)是 Cherniko; f -群，于是 CG(Ni)是 Cherniko; f -群•由归纳法可得 O 也是 Cherniko;

f-群.

由引理2知，如果Chernio;f-群是幂零群，那么其中的可除阿贝尔f-子群包含在中心里面.由此可得 下面的推论：

推论1 若局部幂零f-群O里存在有限子群的中心化子是有限的，则O是非幂零的Cherniko; f-群. 在文献']中研究了有限f-群O的任意非交换子群N满足| C〇(N) |.f2•下面我们把这类群推广到 局部幂零f-群里.

推论2 若局部幂零f-群O的任意非交换子群N满足| G〇 (N) |.f2,则

(i)当 | C〇(N) | = f时，O是秩为f — 1的可除阿贝尔f -群被f阶循环群的扩张；

(ii)当 | C〇(N) | = f2时，O是秩为f—1的可除阿贝尔f-群被有限f-群的扩张，或者O是秩为2f —2 的可除阿贝尔f-群被有限f -群的扩张.

证

1)由文献[2]的定理1可知，O的任意有限子群存在指数是f的交换子群•从而可得，O存在指数

是f的交换子群A•设D是O的可除阿贝尔f-子群使得|G:D|N = /(B) =〈<# | af = 1，& B〉

于是

n = n2(D)xn2 (A1) |N|#f2f—2

任意取'&O — B，显然有〈'，〜〉= &是非交换子群•再由文献[2]的定理1可得&是有限极大类f-群 且| G |#f2f—1•当f = 2时，&是极大类2-群，于是可得N是循环群，从而可得B1 =1，即B = D•若

f #3,由文献[4]的定理9.6(c)可得，&

中没有阶是ff且方次数是f的正规子群•由于/^N)是群& | /i (N) | = ff—1方次数为f的交换正规子群，因此故B = D，即 | G/D |= f.

2)同样设D是O的可除阿贝尔f-子群使得| O: D |D] + 1，但是，'f，D] = 1•令S =〈D，'〉•任意取Q是包含在D内的一个拟循环子群•则Q'〉是秩小

于或者等于f的可除阿贝尔f -群•设Q'〉的秩是f.对任意# & Q，满足|# |#fH且^ = '，#〉是非交 换子群•易得^的极大子群是交换群•因此，^/之^:)是极大类2-群•又|Z(S1)|，则31/2(31)包含了/2山)2(31)/冴31).矛盾.因此，乃是秩为力一1的可除阿贝尔

f -群.

由于任意g &仏（N)都存在拟循环子群包含心于是Q严是阶小于或者等于f % 1的初等交换子群. 假设N的秩大于2^ — 2.则

K = (Q1(N), ' +至少含有4个生成元.于是IP/JTI#，.显然由题设可知，P是非交换群而且P中含有指数是々的交换 子群.又由引理1可知

I K | = ^ | Z(K) | | K7 I

从而可得

I ZK) |# ps

即

| Ce(K) |#| Z(K) |#pA

矛盾.因此N的秩小于或者等于2p% 2.

若N的秩大于p小于2p

% 2.

显然p #3

.

于是由[7]的定理1.3(3)可得，N中存在秩小于p %1的

% 2.

可除阿贝尔子群■〇,使得■〇*=■〇.由引理2可得DD，'（ = 1，类似得到矛盾.故N的秩是2p

注1 推论2$)中的任意有限非交换子群是有限极大类p-群.因此，从局部幂零p-群方向上说明了有限p -群存在阶任意大的极大类p -群满足有极大子群是交换群的例子.参考文献：

']']

薛海波，吕恒.一类具有特殊中心化子的有限p-群'].西南师范大学学报（自然科学版），2014, 39(10): 1 — 4.薛海波，吕恒.非交换子群具有极小中心化子的有限p-群'].西南师范大学学报（自然科学版），2016, 41(8):

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KEGEL O H，WEHRFRITZ A F. Locally Finite Groups[M]. Amsterdam： North-Holland，1973.BERKOVICH Y. Groups of Prime Power Order(Vol. 1) [M]. Berlin： Walter de Gruyter，2008.

MENEGAZZOF，STONEHEWERS. On the Automorphism Group of a Nilpotent p-group ']. London Math. Soc， 1985, 31(2)： 272-276.

'][4] [5]

[6] ROBINSON DJ S. A Course in the Theory of Groups [M]. New York： Springer-Verlag，1982.[

]

吕恒，陈贵云.可除阿贝尔p-群的自同构群[].数学年刊（A辑），2009, 30(6): 751-760.

Locally Nilpotent P-Groups with Chernikov Centralizers

XUE Hai-bo1， LV Heng2

!. College of Electromechanical and Information Engineering，Chongqing College of Humanities，Science and Technology，HechuanChongq丨ng 801528，#

;• School of Mathematics and Statistics，Southwest University，Chongqing 800715，ChinaAbstract： In this paper，it is proved that a locally nilpotent p-group G is a Chernikov

if there is a finite subgroup H such that CG (H) is a Chernikov p-groups.

Key words： locally nilpotent groups； Chernikov groups； p-groups of maximal class

责任编辑汤振金