基于双因素方差分析的案例解析

基于双因素方差分析的案例解析

作者：李达玲

来源：《新校园·中旬刊》2013年第04期

摘 要：在实际生产过程中，影响一个事物的因素往往有很多，改变一个因素，就可能影响产品质量。哪些因素影响较大，哪些因素影响较小；究竟是一个因素起作用，还是多个因素起作用，或是各因素影响都不显著。方差分析就可以根据实验的结果进行分析、鉴别各因素对实验结果的影响。本文以双因素方差分析法进行一个生产案例的求解分析。 关键字：双因素方差分析；Excel数据分析处理；案例解析 一、问题

为了考察某种合金中碳的含量百分比（因子A）与锑铝含量和的百分比（因子B）对合金强度的影响，对因子A取3个水平，因子B取4个水平，在每个水平组合下做一次试验，数据如表1：

表1碳的含量百分比（因子A）与锑铝含量和的百分比（因子B） ■

假设因子A与因子B无交互作用，试检验因子A或B的效应是否显著（取α=0.01）。 二、分析

双因素无重复试验的方差分析。双因素无重复试验，也就是说因素A和B的各种水平的每一种配合（Ai，Bj）（i=1，2，...，l；j=1，2，...，m）下，只进行一次试验。假设所有的试验都是独立的，设得到的样本观测值xij如表2。 表2样本观测值分布表 ■

将双因素无重复试验的方差分析有关的统计量和计算结果列在同一张表中，即得到双因素无重复试验的方差分析表，如表3。 表3双因素无重复试验的方差分析表 ■

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其中SA=m■（x■.-x）■是因素A的离差平方和，反映了因素A的不同水平所引起的系统误差；SB=m■（x.■-x）■是因素B的离差平方和，反映了因素B的不同水平所引起的系统误差； Se=■■（x■-xi.-x.j+x）■为误差平方和，反映了由各种随机因素引起的试验误差。S=SA+SB+Se是全体观测值xij对总平均值x的离差平方和。SA、SB、Se相互独立，■服从自由度l-1的χ2分布；■服从自由度为m-1的χ2分布；■服从自由度为（l-1）（m-1）的χ2分布；SA=■是因素A的平均平方和；SB=■是因素B的平均平方和；Se=■是误差的平均平方和。统计量FA=■=■服从自由度为（l-1，（l-1）（m-1））的F分布；FB服从自由度为（m-1，（l-1）（m-1））的F分布。给定显著性水平α=0.01，求得相关临界值Fα，即可确定因素A或因素B对试验结果是否产生显著影响。 三、求解 （1）提出假设 因素A

H0：合金中碳含量百分比对合金强度无显著性影响； H1：合金中碳含量百分比对合金强度有显著性影响。 因素B

H0：合金中锑铝含量和的百分比对合金强度无显著性影响； H1：合金中锑铝含量和的百分比对合金强度有显著性影响。

（2）输入数据至Excel，采用Excel工具菜单下，“数据分析”中“方差分析：无重复双因素分析”即可完成，如图1。

图1 EXCEL无重复双因素分析输入情况图 ■ 四、结果 根据图2显示：

（1）合金中碳含量百分比（因素A）对合金强度的影响：给定显著性水平α=0.01，求得相关临界值FA0.01=10.92477，而样本观测值F=63.2166大于FA0.01，因此拒绝原假设，即合金中碳含量百分比（因素A）对合金强度有显著影响。

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（2）合金中锑铝含量和的百分比（因素B）对合金强度的影响：给定显著性水平α=0.01，求得相关临界值FB0.01=9.779538，样本观测值F=20.31083大于FB0.01，所以拒绝原假设，即合金中锑铝含量和的百分比（因素B）对合金强度有显著影响。 图2 无重复双因素分析结果图 ■ 五、结论

（1）合金中碳含量百分比（因素A）对合金强度的影响：给定显著性水平α=0.01，求得相关临界值FA0.01=10.92477，而样本观测值F=63.2166大于FA0.01，因此拒绝原假设，即合金中碳含量百分比（因素A）对合金强度有显著影响。

（2）合金中锑铝含量和的百分比（因素B）对合金强度的影响：给定显著性水平α=0.01，求得相关临界值FB0.01=9.779538，样本观测值F=20.31083大于FB0.01，所以拒绝原假设，即合金中锑铝含量和的百分比（因素B）对合金强度有显著影响。

对双因素方差分析，有时不但要考虑因素A或因素B对试验结果的影响，还要考虑因素A与因素B可能会有的交互作用对试验结果产生的影响。因此，就要对因素A与因素B的各水平的每一种配合（Ai，Bj）（i=1，2，...，l；j=，2，...，m）分别进行r≥2次重复试验，进行双因素等重复试验的方差分析，在此不作具体举例分析。

在试验中，可以从多种可控因素中找出主要因素，通过对主要因素的调整、控制，提高产品的性能、产量，这是我们想要的，方差分析正是这样一种有效方法。而Excel工具在数据分析处理上又有着应用相对普及、更为简便的优势，在一般的生产实践中将两者结合起来用于研究，不失为一种好方法，值得实践推广。 参考文献：

[1]吴传生.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2007：228. [2]陈魁.应用概率统计[M].北京：清华大学出版社，2002：280-301.