离心率的五种求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率0e1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1． 一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ec来解决。 ax2例1：已知双曲线2y21（a0）的一条准线与抛物线y26x的准线重合，则该双曲线的离心

a率为（ ）

33623 B. C. D.

22233a2c2132解：抛物线y6x的准线是x，即双曲线的右准线x，则2c23c20，

2cc2A.

解得c2，a3，ec23，故选D a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0、F23,0，则其离心率为（ ）

3211 B. C. D. 4324解：由F11,0、F23,0知 2c31，∴c1，又∵椭圆过原点，∴ac1，ac3，∴a2，

c1c1，所以离心率e.故选C.

a2A.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

363 B. C. D 2 222解：由题设a2，2c6，则c3，ec3，因此选C a2x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆221（ab0）的左准线上，过点P且方向为a2,5的

ab光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

1132 B C D 3232解：由题意知，入射光线为y15x3，关于y2的反射光线（对称关系）为5x2y50，2a2c33则c解得a3，c1，则e，故选A

a35c50二、构造a、c的齐次式，解出e

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根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，

ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

31 D. 31 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为，由焦半径公式

2PF1expa，

A. 423 B.

31 C.

2cccc即ca，得220，解得 a2aace13（13舍去），故选D

ax2y2变式练习1：设双曲线221（0ab）的半焦距为c，直线L过a,0，0,b两点.已知原点到

ab直线的距离为

3c，则双曲线的离心率为( ) 43 C.

A. 2 B. 2 D.

23 3解：由已知，直线L的方程为bxayab0，由点到直线的距离公式，得

aba2b23c， 4又cab, ∴4ab22223c2,两边平方，得16a2c2a23c4，整理得3e416e2160，

c2a2b2b242122，∴e24，∴e2，故选A 得e4或e，又0ab ，∴e22aaa32变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ）

A

03 B

663 C D 233解：如图所示，不妨设M0,b，F1c,0，F2c,0，则

MF1MF2c2b2，又F1F22c，

在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2

MF1MF2F1F22MF1MF2222,

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离心率的五种求法

b2c211c2b2c2b24c2即，∴， 22222bc22cb2a2163222e∵bca，∴2，∴，∴，∴，故选B 3a2ce2222ca222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解：ec2c2c2ca2aPF1PF222c2c12121

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2例4：设椭圆221（a0,b0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1ab且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

.

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵ADl1于D，∴AD为F1到准线l1的距离，根据椭

1ABAF112 圆的第二定义，eADAD2变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的

离心率为（ ） A

2 B

122 C D

224解：eAF2AD222 12五、构建关于e的不等式，求e的取值范围 例5：设0,，则二次曲线x2coty2tan1的离心率的取值范围为（ ） 41221,,2A. B.  C.  D. 2, 222222另：由xcotytan1，0,22，得atan，bcot, 4c2tancot1cot2 ∴cabtancot,∴e2tana2222第 3 页 共 8 页

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∵0,

22，∴cot1,∴e2，∴e2，故选D 4例6：如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、

E三点，且以A、B为焦点．当

23时，求双曲线离心率e的取值范围。 34解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系

xoy，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线

的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记Ac,0，C其中cc,h，Ex0,y0，21AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 2

c由定比分点坐标公式得x0c2222c，yh，设双曲线的方程为xy1，则离

01211a2b2c2h2c21① 心率e，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得24abac2将点E的坐标代入双曲线方程得

4a2h2221② 11b22e2h2h2e2c21，∴21③ 再将e①、②得

4b4bae24h2221④ 11b22e24412，∴123，由题设23得： 将③式代入④式，整理得434e223312，解得7e10，所以双曲线的离心率的取值范围为7,10 3e24

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离心率的五种求法

配套练习

x2y221. 设双曲线221（a0,b0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y4x的准线重合，

ab则此双曲线的方程为（ ）

x2y21 A.

1224x2y21 B.

4896x22y21 C. 33x2y21D. 36

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A．

1 3B．

3 3 C．

1 2 D．

3 2x2y243．已知双曲线221的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（ ）

3abA

5435 B C D 33244．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

A

2 B

221 C D 2425．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为率为（ ） A

1，则该双曲线的离心22 B 2 C 22 D 22

x2y26．如图，F1和F2分别是双曲线221（a0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1

ab为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A

3

B

5 C

5 2 D

31

x2y27. 设F1、F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为

ab第 5 页 共 8 页

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半焦距）的点，且F1F2F2P，则椭圆的离心率是（ ）

A

311 B C 22512 D 22x2y208．设F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290，且

abAF13AF2，则双曲线离心率为（ ）

A

5 2 B

10 2 C

15 2 D

5

x2y209．已知双曲线221（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的

ab右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A 1,2 B 1,2 C 2, D 2,

x2y210．椭圆221（ab0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若

abMN2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．0, 21B．0,2 2 C．,1

12D．

2

,1 2

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离心率的五种求法

ca2答案：1.由3,1可得a3,b6,c3.故选D

ca2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ a2b，椭圆的离心率ec3，选D。 a2b4c32425,故选A 3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,可得ea3a332b2a2x2y222且c1，据此求出e＝4.不妨设椭圆方程为221（ab0），则有

2acab2b2a21x2y22且c，据此解得e＝2，选C 5.不妨设双曲线方程为221（a0，b0），则有ac2abx2r26.解析：如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以

ab且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，

|AF2|=3c，∴ 2a(31)c，双曲线的离心率为13，选D。

a2c2a2,3c）7.由已知P（，所以2c( c)2(3c)2化简得a22c20ea2．ccx2y28.设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，

ab设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a|AF1||AF2|2，2c|AF1||AF2|10，∴ 离心率

22e10，选B。 2x2y29.双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只

ab有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

222cab≥4，∴ e≥2，选C e2=22aabb，∴ ≥3，离心率aa第 7 页 共 8 页

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x2y2a210.椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|2，

abca22|F1F2|2c，MN≤F1F2，则2c，该椭圆离心率e≥，选D

2c第 8 页 共 8 页