函数与方程的思想是最重要的一种数学思想,要注意函数,方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到:
(1)深刻理解一般函数y=f(x)、y=f(x)的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换),熟练掌握基本初等函数的性质,这是应用函数思想解题的基础. (2)密切注意三个“二次”的相关问题,三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质,二次方程实根分布条件,二次不等式的转化策略.
1.(★★★★★)关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3>0,当0≤x≤1时恒成立,则实数a的取值范围为 .
2.(★★★★★)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)
(1)若a=1,b=–2时,求f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B关于直线y=kx+
[例1]已知函数f(x)=logm
x3x312a12–1
对称,求b的最小值.
(1)若f(x)的定义域为[α,β],(β>α>0),判断f(x)在定义域上的增减性,并加以说明;
(2)当0<m<1时,使f(x)的值域为[logm[m(β–1)],logm[m(α–1)]]的定义域区间为[α,β](β>α>0)是否存在?请说明理由.
1
[例2]已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证:m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3; (3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知函数f(x)=loga[x–(2a)2]对任意x∈[实数a的取值范围是( )
A.(0,
1412,+∞]都有意义,则
] B.(0,
14) C.[
14,1) D.(
14,
12)
2.(★★★★★)函数f(x)的定义域为R,且x≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x<1时,f(x)=2x2–x+1,那么当x>1时,f(x)的递减区间是( )
A.[
54,+∞) B.(1,
54] C.[
74,+∞) D.(1,
74]
二、填空题 3.(★★★★)关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解,则a的取值范围是 . 4.(★★★★★)如果y=1–sinx–mcosx的最小值为–4,则m的值为 . 三、解答题
5.(★★★★)设集合A={x|4x–2x+2+a=0,x∈R}. (1)若A中仅有一个元素,求实数a的取值集合B;
(2)若对于任意a∈B,不等式x2–6x<a(x–2)恒成立,求x的取值范围.
2
2
6.(★★★★)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在实数m,n(m<n=,使f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m、n的值;如果不存在,说明理由.
2
7.(★★★★★)已知函数f(x)=6x–6x,设函数g1(x)=f(x), g2(x)=[fg1(x)], g3(x)=f [g2(x)], „gn(x)=f[gn–1(x)],„
(1)求证:如果存在一个实数x0,满足g1(x0)=x0,那么对一切n∈N,gn(x0)=x0都成立; (2)若实数x0满足gn(x0)=x0,则称x0为稳定不动点,试求出所有这些稳定不动点; (3)设区间A=(–∞,0),对于任意x∈A,有g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0, 且n≥2时,gn(x)<0.试问是否存在区间B(A∩B≠),对于区间内任意实数x,只要n≥2,都有gn(x)<0.
8.(★★★★)已知函数f(x)=
1a1x (a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围;
(3)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求a的取值范围.
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