概率论和数理统计期末考试试题及答案

 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) (1)设A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有 C (A)P(BA)0 (B)P(AB)P(A) (C)P (AB)0 (D)P(AB)P(A)P(B)三、解答题 （共65分） 1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率 (2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？ 2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y) (2)某人花钱买了A三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立、B、C的,中奖的概率分别为p 如果只要有一种(A)0.03,P(B)0.01,p(C)0.02,奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为 B (A) 0.05 （B） 0.06 (C) 0.07 （D） 0.08 22(3)X，则 A P{X4},pP{Y5}~N(,4),Y~N(,5),p12k(6xy),0x2,0y4 　　　，　其它0(XY4)求：（1）常数k （2）P 3、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 (A)对任意实数,p,p1p2 （B）对任意实数1p2 (C)只对的个别值，才有p1p2 （D）对任意实数，都有p1p2 (4)设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)f(x),F(x)是X的分布函数， 则对任意实数a成立的是B 1,0x1;ey,y0; fX(x fY(y ))0,其它.0,y0.求:随机变量Z的概率密度函数. XY 4、（8分）设随机变量X具有概率密度函数 fX(x)1a（A）F （B） (a)1f(x)dxF(a)f(x)dx002ax8,0x4; 0,其他，（C）F （D）F (a)F(a)(a)2F(a)1 (5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为 B （A）EX (B)EX [EX]EY[EY]EY2222X求：随机变量Ye的概率密度函数. 1 5、（8分）设随机变量X的概率密度为： 1x， f(x)ex2求:X的分布函数． 222222(C)EX (D) EX EY[EX]EY[EY]6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利 润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) 万元，求一周内期望利润是多少？ (1) P,P,P,则P. (AB)___________(A)0.4(B)0.3(AB)0.4 34x,0x1x)(2) 设随机变量X有密度f(,则使P (Xa)P(Xa)0其它7、(10分)设X，且相互独立U， ~N(0,1),Y~N(0,1)XY1,VXY1求:（1）分别求U,V的概率密度函数； （2）U,V的相关系数UV； 2的常数a= (3) 设随机变量X,则P ~N(2,)，若P{0X4}0.3{X0} (4) 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从N(1,)，如果随机变量X-aY+2 满足条件 D ， (XaY2)E[(XaY2)]则a=__________. (5) 已知X～B,D, 则n=__________. (n,p),且E(X)8(X)4.8 215 „„„„„„„„„„„„ 装 „„„„„„„„„„„„ 订 „„„„„„„„„„„„„ 线 „„„„„„„„„„„„ 2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计B》试卷（A） 标准答案和评分标准 一、选 择 题（5×3分） 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、 三、 计 算 题（65分） 1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的” 易见B-----------------------------------------------------------------------------------2分 ,B,B是的一123 (1) 由全概率公式，得P-------------------5分 (A)P(AB)P(B)P(AB)25%5%35%4%40%2%0.0345.iiii1i1142 3、 0.35 4、 3 5、 20 P(AB)P(B)11333 (2) 由Bayes公式有：P(B)1Ai120225%5%25-----------------------------------------------------10分 0.034569P(AB)P(B)ii42、解：（1）由于1118（2）dx( ----------------------------------------------------------10分 6xy)dy(x6x16)dx242429，所以dxk，可得kf(x,y)dxdy1(6xy)dy10224x0001 ----------------------------------------------5分 243、解：由卷积公式得f ， (z)f(x,zx)dxZ(z)f(x)f(zx)dx 又因为X与Y相互独立，所以f-----------------------------------------------------------3分 ZXY 当z0时，f -----------------------------------------------------------------------5分 (z)f(x)f(zx)dx0;ZXY(z)f(x)f(zx)dxedx1e; 当0z时，f------------------------------------------------------7分 1ZXY0z(zx)z(z)f(x)f(zx)dxedxe(e1) 当z1时，f ZXY01(zx)zz00z 所以 f-----------------------------------------------------------10分 (z)f(x)f(zx)dx1e0z1;ZXYze(e1)z1 X14、解：Ye的分布函数FY(y). ln(y1)X -----------------------------------------------------2分 F(y)P(Yy)P(e1y)P(Xln(y1))(x)dxYXf 0,y0;12),0ye41; -----------------------------------------------------------------------6分 ln(y1161,e41y.ln(y1)4,0ye1;d于是Y的概率密度函数f --------------------------------------------------8分 (y)F(y)8(y1)YYdy,其他.0 (x)5、 解： Fxf(t)dt 1xt1t0,F(x)edte 当x------------------------------------------------------------------------------------3分 22 0x11ttt 当x ----------------------------------------------------------------------8分 0,F(x)[edtedt]1e022 5k5k6、解 由条件知X，即P ------------------------------------------------------ 3分 ~B(5,0.2){Xk}0.20.8,k0,1,,5k10,5, Yg(X)0,2,5X0;X1;X2;X3 -----------------------------------------------------------------------------6分 EYEg(X)g(k)P{Xk}k010P{X0}5P{X1}0P{X2}2[P{X3}P{X4}P{X5}] ----------------------------------------------------------- 9分 100.32850.41020.0575.216(万元)7、解：（1）因为X，且相互独立，所以U都服从正态分布， ~N(0,1),Y~N(0,1)XY1,VXY1 EU E(XY1)EXEYE11 DU --------------------------------------------------------------3分 D(XY1)DXDY2所以 U~N(1,2)，所以 fU(u)14eu24 同理 EV E(XY1)EXEYE11 DU D(XY1)DXDY2所以 V~N(1,2)，所以 fV(u)14eu24 -----------------------------------------------------------------5分 （2）EUV E(XY1)(XY1)E(XY2X1)  EXEY2EX1DX(EX)(DY(EY))2EX1222222 1 -------------------------------------------8分 所以UV EUVEUEV --------------------------------------------------------------10分 0DUDV „„„„„„„„„„„„ 装 „„„„„„„„„„„„ 订 „„„„„„„„„„„„„ 线 „„„„„„„„„„„„ 2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计B》试卷（B） 标准答案和评分标准 ﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉ 一、选 择 题（5×3分） 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 D 二、填 空 题（5×4分） 1、 0.1 2、 三、 计 算 题（65分） 1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的” 易见B-----------------------------------------------------------------------------------2分 ,B,B是的一123142 3、 0.35 4、 20 5、 3 (A)P(AB)P(B)P(AB)25%5%35%4%40%2%0.0345. (1) 由全概率公式，得P-------------------5分 iiii1i1i133P(AB)P(B)35%4%822(BA)-----------------------------------------------------10分 (2) 由Bayes公式有：P230.034523P(ABP(Bi)i)5 解：由卷积公式得f ， (z)f(x,zx)dxZ(z)f(x)f(zx)dx 又因为X与Y相互独立，所以f-----------------------------------------------------------3分 ZXY 当z0时，f -----------------------------------------------------------------------5分 (z)f(x)f(zx)dx0;ZXY(zx)z(z)f(x)f(zx)dxedx1e; 当0z时，f------------------------------------------------------7分 1ZXY0z(z)f(x)f(zx)dxedxe(e1) 当z1时，f ZXY01(zx)zz00z 所以 f-----------------------------------------------------------10分 (z)f(x)f(zx)dx1e0z1;ZXYze(e1)z1 XY1,VXY16、解：（1）因为X，且相互独立，所以U都服从正态分布， ~N(0,1),Y~N(0,1) EU E(XY1)EXEYE11 DU --------------------------------------------------------------3分 D(XY1)DXDY2所以 U~N(1,2)，所以 fU(u)u2414e 同理 EV E(XY1)EXEYE11 DU D(XY1)DXDY2所以 V~N(1,2)，所以 fV(u)14eu24 -----------------------------------------------------------------5分 22E(XY1)(XY1)E(XY2X1)（2）EUV  EXEY2EX1DX(EX)(DY(EY))2EX12222 1 -------------------------------------------8分 所以UV EUVEUEV ---------------------------------------------------------------10分 0DUDV5k5k7、解 由条件知X，即P ------------------------------------------------------ 3分 ~B(5,0.2){Xk}0.20.8,k0,1,,5k10,5, Yg(X)0,2,5X0;X1;X2;X3 -----------------------------------------------------------------------------6分 EYEg(X)g(k)P{Xk}k010P{X0}5P{X1}0P{X2}2[P{X3}P{X4}P{X5}] ----------------------------------------------------------- 9分 100.32850.41020.0575.216(万元)