2015年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（2015•衡阳）计算（﹣1）+|﹣2|的结果是（ ） 1 3 A．﹣3 B． C． ﹣1 D． 2．（3分）（2015•衡阳）下列计算正确的是（ ） 52733333 a+a=2a A．B． C． D． （a）=a b•b=2b a÷a=a 3．（3分）（2015•衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
0
A． 4．（3分）（2015•衡阳）若分式 0 A．2或﹣1 B． 5．（3分）（2015•衡阳）函数y=x≥0 A．B． x≥﹣1 6．（3分）（2015•衡阳）不等式组 A．B． 的值为0，则x的值为（ ）
2 C． D． ﹣1 B． C． D． 中自变量x的取值范围为（ ） x≥1 C． x＞﹣1 D． 的解集在数轴上表示为（ ） C． D． 7．（3分）（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） 11 16 17 A．B． C． D． 16或17 8．（3分）（2015•衡阳）若关于x的方程x+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） 2 4 A．﹣2 B． C． D． ﹣3 9．（3分）（2015•衡阳）下列命题是真命题的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线相等的四边形是矩形 B． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C．1
2
D．对角线互相垂直的四边形是正方形 10．（3分）（2015•衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：元）50、20、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．50元，30元 B． 50元，40元 C． 50元，50元 D． 55元，50元 11．（3分）（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（ ） A．x（x﹣10）=900 B． x（x+10）=900 C． 10（x+10）=900 D． 2[x+（x+10）]=900 12．（3分）（2015•衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
51 101 A．B． C． D． 50 50+1
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。 13．（3分）（2015•衡阳）在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是 ． 14．（3分）（2015•衡阳）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是 ．
15．（3分）（2015•衡阳）计算：
16．（3分）（2015•衡阳）方程
﹣
= ． 的解为 ．
17．（3分）（2015•衡阳）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）． 18．（3分）（2015•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 m．
2
19．（3分）（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a﹣b的值为 ．
20．（3分）（2015•衡阳）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、An在x轴上，点B1、B2、…、Bn在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2015的长为 ．
2
2
三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21．（6分）（2015•衡阳）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b），其中a=﹣1，b=． 22．（6分）（2015•衡阳）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题： （1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为 ；
（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人．
2
23．（6分）（2015•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．
3
①旋转角为多少度？ ②写出点B2的坐标．
24．（6分）（2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率． 25．（8分）（2015•衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
26．（8分）（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
27．（10分）（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式；
4
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
28．（10分）（2015•衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由． （3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
5
2015年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（2015•衡阳）计算（﹣1）+|﹣2|的结果是（ ） 1 3 A．﹣3 B． C． ﹣1 D． 考点：实数的运算；零指数幂． 专题：计算题． 分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得 到结果． 解答：解：原式=1+2=3． 故选D． 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（3分）（2015•衡阳）下列计算正确的是（ ） 52733333 a+a=2a A．B． C． D． （a）=a b•b=2b a÷a=a 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析：根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变 指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、a+a=2a，故本选项正确； 0
B、b•b=b=b，故本选项错误； 33﹣12C、a÷a=a=a，故本选项错误； 525×210D、（a）=a=a，故本选项错误． 故选A． 点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练 掌握运算性质和法则是解题的关键． 3．（3分）（2015•衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（ ）
333+36 A． 考点：简单组合体的三视图． 专题：常规题型． 分析：根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案． B． C． D． 6
解答：解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆， 故选：C． 点评：本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形． 4．（3分）（2015•衡阳）若分式
的值为0，则x的值为（ ）
0 2 A．2或﹣1 B． C． D． ﹣1 考点：分式的值为零的条件． 分析：分式的值为0的条件是： （1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 解答：解：由题意可得：x﹣2=0且x+1≠0， 解得x=2． 故选：C． 点评：此题主要考查了分式值为零的条件， 关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5．（3分）（2015•衡阳）函数y=中自变量x的取值范围为（ ） x≥0 x≥1 A．B． x≥﹣1 C． x＞﹣1 D． 考点：函数自变量的取值范围． 分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 解答：解：根据题意得：x+1≥0， 解得：x≥﹣1． 故选：B． 点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6．（3分）（2015•衡阳）不等式组 A．B． 的解集在数轴上表示为（ ） C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 分析：根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的 解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示． 解答： 解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，其数轴表示为： 故选A 点评：不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的 相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解． 7
7．（3分）（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） 11 16 17 A．B． C． D． 16或17 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题：分类讨论． 分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的 定义列式计算即可得解． 解答：解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5， 能组成三角形， 周长=6+6+5=17； ②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5， 能组成三角形， 周长=6+5+5=16． 综上所述，三角形的周长为16或17． 故选D． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论． 8．（3分）（2015•衡阳）若关于x的方程x+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） 2 4 A．﹣2 B． C． D． ﹣3 考点：根与系数的关系． 分析：根据一元二次方程根与系数的关系， 利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根． 解答： ：设一元二次方程的另一根为x1， 解则根据一元二次方程根与系数的关系， 2
得﹣1+x1=﹣3， 解得：x1=﹣2． 故选A． 2点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=． 9．（3分）（2015•衡阳）下列命题是真命题的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线相等的四边形是矩形 B． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C． D．对角线互相垂直的四边形是正方形 考点：命题与定理． 专题：计算题． 分析：根据平行线四边形的判定方法对A进行判定； 根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定． 解答：解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题； 8
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题． 故选A． 点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结 论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 10．（3分）（2015•衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：元）50、20、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．50元，30元 B． 50元，40元 C． 50元，50元 D． 55元，50元 考点：众数；中位数． 分析：根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那 个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可． 解答：解：50出现了3次，出现的次数最多， 则众数是50； 把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55， 最中间的数是50， 则中位数是50． 故选C． 点评：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数 据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）． 11．（3分）（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（ ） A．x（x﹣10）=900 B． x（x+10）=900 C． 10（x+10）=900 D． 2[x+（x+10）]=900 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 专题：几何图形问题． 分析：首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可． 解答：解：设绿地的宽为x，则长为10+x； 根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900． 故选B． 点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长× 宽是解决本题的关键，此题难度不大． 12．（3分）（2015•衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
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51 101 A．B． C． D． 50 50+1 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据 DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH． 解答：解：设AG=x， 在Rt△AEG中， ∵tan∠AEG=∴EG==， x， 在Rt△ACG中， ∵tan∠ACG=∴CG=∴x﹣， =x， x=100， 解得：x=50． 则AH=50+1（米）． 故选C． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求 解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分。 13．（3分）（2015•衡阳）在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是 ﹣2 ． 考点：有理数大小比较． 分析：有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 解答：解：根据有理数比较大小的方法，可得 ﹣2＜﹣1＜0， 所以在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是﹣2． 故答案为：﹣2． 点评：此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 10
14．（3分）（2015•衡阳）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是 60° ．
考点：平行线的性质． 分析：两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答． 解答：解：∵a∥b，∠1=120°， ∴∠2=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°， 故答案为：60° 点评：本题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补． 15．（3分）（2015•衡阳）计算：﹣= ． 考点：二次根式的加减法． 分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二 次根式即可． 解答： 解：原式=2﹣=． 故答案为：． 点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 16．（3分）（2015•衡阳）方程的解为 x=﹣1 ．
考点：解分式方程． 专题：计算题；压轴题． 分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为：x（x﹣2） ，去分母，化为整式方程求解． 解答：解：方程两边同乘x（x﹣2） ，得x﹣2=3x， 解得：x=﹣1， 经检验x=﹣1是方程的解． 点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根． 17．（3分）（2015•衡阳）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 3π （结果保留π）． 考点：扇形面积的计算． 分析：根据扇形的面积公式即可求解． 解答： 2解：扇形的面积==3πcm． 故答案是：3π． 点评：本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键． 11
18．（3分）（2015•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 40 m．
考点：三角形中位线定理． 专题：应用题． 分析：根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可． 解答：解：∵点M、N是OA、OB的中点， ∴MN是△ABO的中位线， ∴AB=AMN． 又∵MN=20m， ∴AB=40m． 故答案是：40． 点评：此题考查的是三角形中位线的性质， 即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 19．（3分）（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a﹣b的值为 ﹣3 ． 考点：平方差公式． 专题：计算题． 分析：原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 解答：解：∵a+b=3，a﹣b=﹣1， ∴原式=（a+b）（a﹣b）=﹣3， 故答案为：﹣3． 点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 22
20．（3分）（2015•衡阳）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其
2013
中点A1、A2、…、An在x轴上，点B1、B2、…、Bn在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2015的长为 2 ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形． 专题：规律型． 12
分析： n﹣2根据规律得出OA1=，OA2=1，OA3=2，OA4=4，OA5=8，所以可得OAn=2，进而解答即可． 解答： 解：因为OA2=1，所以可得：OA1=， 进而得出OA3=2，OA4=4，OA5=8， n﹣2由此得出OAn=2， 2013所以OA2015=2， 2013故答案为：2 n﹣2点评： 此题考查一次函数图象上点的坐标，关键是根据规律得出OAn=2进行解答． 三、解答题：本大题共8个小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21．（6分）（2015•衡阳）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b），其中a=﹣1，b=． 考点：整式的混合运算—化简求值． 专题：计算题． 分析：原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a与b的值代入计算即可求出值． 解答： ：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2， 解当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4． 点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（6分）（2015•衡阳）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题： （1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为 40% ；
（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有 16 人；
（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 128 人．
2
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：（1）用1减去其它各组的百分比，据此即可求解； （2）根据优秀的人数是8，所占的百分比是16%即可求得调查的总人数，利用总人数乘以对应的百分比即可求解； （3）利用总人数400乘以对应的百分比即可求解． 解答：解： （1）“合格”的百分比为1﹣12%﹣16%﹣32%=40%，故答案是：40%； （2）抽测的总人数是：8÷16%=50（人）， 13
则抽测结果为“不合格”等级的学生有：50×32%=16（人）． 故答案是：16； （3）该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有400×32%=128（人）． 故答案是：128． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23．（6分）（2015•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上． ①旋转角为多少度？ ②写出点B2的坐标．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换． 分析： （1）分别得到点A、B、C关于x轴的对称点，连接点A1，B1，C1，即可解答； （2）①根据点A，B，C的坐标分别求出AC，BC，AC的长度，根据勾股定理逆定理得到∠CAB=90°，即可得到旋转角； ②根据旋转的性质可知AB=AB2=3，所以CB2=AC+AB2=5，所以B2的坐标为（6，2）． 解答： 解：（1）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）关于x轴的对称点分别为A1（3，﹣2），B1（3，﹣5），C1（1，﹣2）， 如图所示， 14
（2）①∵A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）， ∴AB=3，AC=2，BC=∵222， ， ∴AB+AC=BC， ∴∠CAB=90°， ∵AC与AC2的夹角为∠CAC2， ∴旋转角为90°； ②∵AB=AB2=3， ∴CB2=AC+AB2=5， ∴B2的坐标为（6，2）． 点评：本题考查轴对称及旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的 特点，根据题意找到各点的对应点． 24．（6分）（2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率． 考点：列表法与树状图法． 专题：计算题． 分析：列表得出所有等可能的情况数，找出选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况数， 即可求出所求的概率． 解答：解：列表如下： 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有8种， 则P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）==． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15
25．（8分）（2015•衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
考点：反比例函数的应用；一次函数的应用． 分析：（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可； （2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案． 解答：解： （1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx， 将（4，8）代入得：8=4k， 解得：k=2， 故直线解析式为：y=2x， 当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=， 将（4，8）代入得：8=， 解得：a=32， 故反比例函数解析式为：y=； （2）当y=4，则4=2x，解得：x=2， 当y=4，则4=，解得：x=8， ∵8﹣2=6（小时）， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时． 点评：此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 26．（8分）（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
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考点：切线的判定；菱形的判定． 分析： （1）连接AC，由题意得==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，从而得出∠OCE=90°，即可证得结论； （2）四边形AOCD为菱形．由=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； 解答：解： （1）连接AC， ∵点CD是半圆O的三等分点， ∴==， ∴∠DAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行） ∴∠OCE=∠E， ∵CE⊥AD， ∴∠OCE=90°， ∴OC⊥CE， ∴CE是⊙O的切线； （2）四边形AOCD为菱形． 理由是： ∵=， ∴∠DCA=∠CAB， ∴CD∥OA， 又∵AE∥OC， ∴四边形AOCD是平行四边形， ∵OA=OC， ∴平行四边形AOCD是菱形． 点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性 质，是中学阶段的重点内容． 27．（10分）（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
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（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
考点：二次函数综合题． 分析：（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得 抛物线解析式； （2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可222得到AB+AM=BM，可判定△ABM为直角三角形； （3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围． 解答：解： （1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点， ∴A（﹣1，0）， 又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3， ∴B（2，3）， ∵抛物线顶点在y轴上， 2∴可设抛物线解析式为y=ax+c， 把A、B两点坐标代入可得2，解得， ∴抛物线解析式为y=x﹣1； （2）△ABM为直角三角形．理由如： 2由（1）抛物线解析式为y=x﹣1可知M点坐标为（0，﹣1）， ∴AM=2，AB=2=2=3，BM==2， ∴AM+AB=2+18=20=BM， ∴△ABM为直角三角形； 22（3）当抛物线y=x﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）+2m，22即y=x﹣2mx+m+2m， 联立y=x，可得，消去y整理可得x﹣（2m+1）x+m+2m=0， 22∵平移后的抛物线总有不动点， 22∴方程x﹣（2m+1）x+m+2m=0总有实数根， 22∴△≥0，即（2m+1）﹣4（m+2m）≥0， 解得m≤， 即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点． 18
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及 其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中． 28．（10分）（2015•衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由． （3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．
考点：四边形综合题． 分析：（1） 作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标； （2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4； （3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果． 解答：解： （1）作ME⊥x轴于E，如图1所示： 则∠MEP=90°，ME∥AB， ∴∠MPE+∠PME=90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°， ∵PM⊥CP， ∴∠CPM=90°， ∴∠MPE+∠CPO=90°， ∴∠PME=∠CPO， 在△MPE和△PCO中，∴△MPE≌△PCO（AAS）， ∴ME=PO=t，EP=OC=4， ∴OE=t+4， ∴点M的坐标为：（t+4，t）； （2）线段MN的长度不发生改变；理由如下： 连接AM，如图2所示： 19
， ∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°， ∴四边形AEMF是矩形， 又∵EP=OC=OA， ∴AE=PO=t=ME， ∴四边形AEMF是正方形， ∴∠MAE=45°=∠BOA， ∴AM∥OB， ∴四边形OAMN是平行四边形， ∴MN=OA=4； （3）∵ME∥AB， ∴△PAD∽△PEM， ∴即2， ， ∴AD=﹣t+t， ∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t+t）=t﹣t+4， ∵MN∥OA，AB⊥OA， ∴MN⊥AB， ∴四边形BNDM的面积S=MN•BD=×4（t﹣t+4）=（t﹣2）+6， ∴S是t的二次函数， ∵＞0， ∴S有最小值， 当t=2时，S的值最小； ∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小． 2222 点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平 20
行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算以及二次函数的最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要证明四边形是正方形、平行四边形、三角形相似以及运用二次函数才能得出结果．
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