有理数知识点及经典题型总结讲义(全)

一对一七年级数学教师辅导讲义

课 题 授课时间： 教学目标 第1讲 有 理 数 备课时间： 1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上； 2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小； 3、掌握有理数的大小比较； 4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。 教学内容 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 1 一对一个性辅导

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0 6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0 3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

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当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a=0，（0的相反数是0） 考试常考：已知a,b互为相反数，立马要想到a+b=0. 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 11练习1. (3) (4) [(5)] {[(2)]} 25 绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0. 可用字母表示为： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a； ⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 4.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 5.绝对值的化简 ①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 例1.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱= -(a+b),试求a+b的值。 练习2.已知︱a︱=5,︱b︱=8,且∣ab∣= -ab,试求a+b的值。 3

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有理数的加减法 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即： ⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b一对一个性辅导

原式=(-321137-)+(-+)+(+-) 55224811=-1+0-=-1 88 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） 312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 48313121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 8483413121=+3-3+10-1 8483431112=(3-1)+(-3)+10 4488312=2-3+10 23 (+0.125)-(-3=-3+13=10 1 6Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） 1617+10-12+4 51122151761原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) 5151122411=-1++ 1522815=-1++ 30307= - 30-3Ⅵ.分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9„+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+„+(66-67-68+69) =0 Ⅶ.先拆项后结合 （1+3+5+7„+99）-（2+4+6+8„+100） 有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 5

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法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·倒数，即a是11=1（a≠0），就是说a和互为aa11的倒数，是a的倒数。 aa注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 考试经常考：已知a,b互为倒数，立马要想到ab=1. 例2.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5．试求下式的值： x2(abcd)(ab)1998(cd)1999 3.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 练习3.快速计算 （1) 33156 ---------减法没有结合律! （2）(3)()() -----------除法没有结合律! （3）60[8(4)] -----------除法没有分配律! 6

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（4）6(2)() --------------同一级运算时一定要从左向右! 13有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 n2222322008练习4：计算：(2) 3 () 2 2  (1) 3322 练习5．n为正整数时，(1)n +(1)n1的值是（ ） A．2 B．-2 C．0 D．不能确定 112练习6：1.计算：42 2.已知x2y40，求xy的值。 48 123456练习7：观察下列算式发现规律：77，749，7343，，72401，716807，7117649，„„，2用你所发现的规律写出：72011的末位数字是________。 练习8：某校初一年级共有8个班，以每班65人为标准，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，统计情况记录如下：-1，-6，+2，-3，+4，0，-7，+3，求该校初一年级总人数。 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 科学记数法 把一个大于10的数表示成 a10的形式（其中1a10， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 7 n一对一个性辅导

如:地球上的陆地面积约为149 000 000km2，用科学记数法表示为 。 第1讲 回家作业 一．填空题 1．－│－7│的相反数为____，相反数等于本身的数为_______． 31，│y│=，且xy>0，则x－y=______． 22113．x与2的差为，则－x=_____． 222．已知│x│=4．近似数1.50精确到_______，78950用科学记数法表示为_____． 5．按规律写数二、选择题 1.下列说法正确的是（ ） A. 最小的有理数是0； B. 最大的负整数是－1； C. 最小的自然数是1； D. 最小的正数是1. 2.下列说法正确的是（ ） A. 两个有理数的和为零，则这两个有理数都为0； B. 两个有理数的和一定大于其中任何一个加数； C. 两个有理数的和为正数，则这两个数中至少有一个加数是正数； D. 两个有理数的和为负数，则这两个数一定都是负数. 3.下列说法正确的是（ ） A. 一个正数减去一个负数，结果是正数； B. 零减去一个数一定是负数； C. 一个负数减去一个负数，结果是负数； D. “－2－3”读作“负2减负3” 4.下列说法正确的是（ ） A. n个有理数相乘，当因数是奇数个时，积为负； B. n个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； C. n个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； D. n个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个. 5.下列说法正确的是（ ） A. 相反数是本身的数是1和0； B. 倒数是本身的数是1和0； C. 绝对值是 本身的数是0和正数； D. 平方等于64的数是8. 6、已知字母a、b表示有理数，如果a+b=0，则下列说法正确的是（ ） A . a、b中一定有一个是负数 B. a、b都为0 8

1111，－，，－，„第6个数是______． 24816一对一个性辅导

C. a与b不可能相等 D. a与b的绝对值相等 7、一个数的平方为16，则这个数是（ ） A.4或4 B.4 C.4 D.8或8 8、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是 （ ） A. 7 B. －7 C. 0 D. 5 10、4等于（ ） 3A．12 B. 12 C.64 D.64 11、数轴上的点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，已知A在B的右侧，C在B的左侧，D在B、C之间，则下列式子成立的是（ ） A、a-0.5，则a是正数 B、若a<0，则 aa C、若ab，则ab D、若ab，则ab 14、a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A、a+b<0 B、a+c<0 C、a-b>0 D、b-c< 三、计算 1、5.5+3.22.5－4.8 2、8(25)(0.02) 3、  15571136 4、 1 29612321 5、+2 3231 6、822(4)318 9

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7、11111111„ 232431000999 四、解答题 1．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，y1没有倒数，x1的绝对值等于2． 那么代数式2|ab| 2、已知|a2|与|b3|互为相反数，求3a2b的值。 3、已知a、b、c均为非零的有理数，且 4．“”代表一种新运算，已知ab 五、某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃。若该地地面温度为21℃，高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？ 10

cd(y1)(ab1)的值是多少？请你求出来． xaabbcc1，求abcabc的值。 ab12，求xy的值．其中x和y满足方程(x)|13y|0． ab2一对一个性辅导

六、找规律：下列数中的第2003项是多少？2004项呢？第n个呢？ 1，－2，3，－4，5，－6··· ··· 七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已达到警戒水位33米。（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降） ⑴本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ ⑵与上周末相比,本周末河流的水位是上升了还是下降了？ ⑶以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况。 水位变化（米） 1 解： 星期 水位变化＋0.2 （米） +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.5 -0.2 日 一 二 三 四 五 六 0.8 0.6 0.4 0.2 0 日 一 二 三 四 五 六 星期

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