向量的坐标表示及其运算

向量的坐标表示及其运算

【知识概要】

1. 向量及其表示

1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a读作向量a，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB，表示由

A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB

（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）.

注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；

② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别 ③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

例1 下列各量中不是向量的是（ D

A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误的是（ A ） ．．

A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0

C. D.

例3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B. C. D.

2）向量坐标的有关概念

① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j.

② 将向量a的起点置于坐标原点O，作OAa，则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(x,y)，它在x轴和y轴上的投影分别为M,N，则OAOMON,aOAxiyj.

..

③ 向量的正交分解

在②中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j分别乘上实数x,y后组成的和式，该和式称为i、j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记为a=(x,y).

一般地，对于以点P1(x1,y1)为起点，点P2(x2,y2)为终点的向量PP12，容易推得

(x2x1,y2y1)叫做PPPP1212(x2x1)i(y2y1)j，于是相应地就可以把有序实数对(x2x1,y2y1). 的坐标，记作PP12=

3）向量的坐标运算：a(x1,y1),b(x2,y2)，R

则ab(x1x2,y1y2);ab(x1x2,y1y2);a(x1,x2). 4） 向量的模：设a(x,y)，由两点间距离公式，可求得向量a的模(norm).

ax2y2. 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.

例4 已知点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(3,0)，且AP4,BP3，求点P的坐标.

解：点P的坐标为(,612612) 或 (,). 5555例5 已知2ab(4,3),a2b(3,4)，求a、b的坐标. 解：a(1,2),b(2,1) 例6 设向量a,b,c,,R，化简：

（1）(abc)(abc)()(bc)； （2）2(abc)(2a2b)2c. 解：都为0.

..

2. 向量平行的充要条件

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a与b为非零向量，若a(x1,y1),b(x2,y2)，则a//b的充要条件是x1y2x2y1，所以，向量平行的充要条件可以表示为：

a//bab(其中为非零实数)x1y2x2y1.

例7 已知向量a(2,3)，点A(2,1)，若向量AB与a平行，且AB213，求向量OB的坐标.

解：OB的坐标为(6,7) 或 (2,5).

3. 定比分点公式

1）定比分点公式和中点公式

① P1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数， 使P1P=

PP2，叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：

(内分) >0 (外分) <-1 (外分) -1<<0

② 已知P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是直线l上任一点，且P1P=PP2(R,1).P是直

x线P1P2上的一点，令P(x,y)，则yx1x21，这个公式叫做y1y21线段P1P2的定比分点公式，特别地1时，P为线段P1P2的中

x1x2x2，叫做线段PP的中点公式.

点，此时12yy12y2PP2可得PP 注：① PP11PP2；

x1x2yy2和y1显然都无意义，也

11② 当1时，定比分点的坐标公式x就是说，当1时，定比分点不存在

..

2）三角形重心坐标公式

设ABC的三个点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，G为ABC的重心，则

x1x2x3xG3 yyy3y12G32PP2， 例8 在直角坐标系内P点P在直线P且PP求出P1P2上，1(4,3),P2(2,6)，1的坐标.

解：当P在P1P2上时，P(0,3)；当P在P1P2延长线上，P(8,15).

例9 已知A(3,1),B(4,2)，P是直线AB上一点，若2AP3AB，求点P的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得P(

155,). 22*方法提炼*

几个重要结论

1. 若a,b为不共线向量，则ab，ab为以a,b为邻边的平行四边形的对角线的向量；

2. abab2(ab)；

3. G为ABC的重心GAGBGC0G( [A(x1,y1),B(x2,y2)C(x3,y3)]

2222x1x2x3y1y2y3,) 33

【基础夯实】

..

1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC ⑤模为0

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、

AC在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点

不

同，但其终点却相同.

评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.

2.下列命题正确的是（ C A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c B. C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ D.有相同起点的两个非零向量不平行

3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a∥b且|a|=|b|是a=b (2)a∥b且|a|=|b|是a=b (3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b (4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b

A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4) 4. 已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）

132C 点C分AC的比是-3A. 点C分AB的比是- B.点C分BA的比是-3 D 点A分CB的比是2

)分有向线段P5. 已知两点P点P(,y则、y1(1,6)、P2(3,0)，1P2所成的比为，

73..

的值为（ C ）

A －

1，８ 4B.

14 C －

11，－８ D ４， 48

6. △ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ A ）

A (2，-7) B (-7，2) C (-3，-5) D (-5，-3)

7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分

8. 已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 . 答案：不共线

9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= 答案：2或

7 2

10. △ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为 答案：(8,-4)

11. 已知M为△ABC边AB上的一点，且SAMC 答案：

1SABC，则M分AB所成的比为 81 7

【巩固提高】

12. 已知点A(1,4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2点的

..

坐标以及A,B分P1P2所成的比．

解：P1(1,-2),P2(3,0),A、B分p1p2所成的比λ1、λ2分别为-

13. 过P1(1,3)、P2(7,2)的直线与一次函数y成的比值 解：

1,-2 228x的图象交于点P，求P分P1P2所55

5 12

14. 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）

15. 设P是ABC所在平面内的一点，BCBA2BP,则（ B ） (A). PAPB0 (B). PCPA0 (C). PBPC0 (D). PAPB+PC0

16. 若平面向量a,b满足ab1,ab平行于x轴，b(2,1)，则a(1,1)或(3,1).

→→→→

17．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点．若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，→

则BC等于( )

A．(－6,21) C．(6，－21)

B．(－2,7) D．(2，－7)

→→→→→→→→→

解析：选A.AC＝2AQ＝2(PQ－PA)＝(－6,4)，PC＝PA＋AC＝(－2,7)，BC＝3PC＝(－6,21)．

18.已知O为坐标原点，向量OA(2,m),OB(n,1),OC(5,1).若A,B,C三点共线，且m2n，求实数m,n的值

..

19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P是直线AB上一点，且|AP|

1|AB|，求点P的坐标. 320. 已知向量m(cos,sin)和n(2sin,cos),(,2)，且|mn|求cos(82，5)的值。 28