10、月降雨量时间序列中的混沌现象

2002年1月

四川大学学报(工程科学版)

JOURNALOFSICHUANUNIVERSITY(ENGINEERINGSCIENCEEDITION)

Vol.34No.1Jan.2002

　　文章编号:100923087(2002)0120016204

月降雨量时间序列中的混沌现象袁　鹏,李谓新,王文圣,丁　晶

(四川大学水利水电工程学院,四川成都610065)

摘　要:降雨是水文水资源系统的输入,研究它的演变特性,对于水文水资源系统的预报、模拟是十分重要的。以四川省6个水文站的月降雨量时间序列为例,通过混沌理论分析方法,探讨降雨系统的混沌特性。研究表明,降水系统中混沌现象是可能存在的。

关键词:混沌分析;相空间重构;饱和关联维数;月降雨量序列中图分类号:P333文献标识码:A

ChaosAnalysisofMonthlyPrecipitationTimeSeries

YUANPeng,LIWei2xin,WANGWen2sheng,DINGJing

(CollegeofHydraulicEng.,SichuanUniv.,Chengdu610065,China)

Abstract:Precipitationistheinputofthesystemofhydrologyandwaterresource.Theprobeintotheevolutionalproper2tiesofdynamicsystemofprecipitationisveryimportantforsimulationandforecastofthesystemofhydrologyandwaterresources.Inthispaper,basedonthechaosanalysis,thechaosofthesystemofprecipitationisstudiedthroughmonthlyprecipitationtimeseriesofsixstationsinSichuanprovince.Theresultsofcalculationandanalysishaveshownthatchaosisprobablyexist.

Keywords:chaosanalysis;reconstructionofstatespace;saturatedcorrelationdimension;monthlyprecipitationtimeseries

　　混沌理论认为,客观事物的运动,除定常、周期、准周期外,还存在着一种运动形式———混沌运动。混沌是貌似随机的一种不规则现象,是非线性确定系统具有的内在随机性的表现。混沌在物理、数学界日趋成熟,在气象和地震领域的研究成果颇丰。一般水文现象受气候、下垫面和人类活动等因素影响,其运动无疑是复杂的。一些研究表明,水文系统(降雨、径流、融雪、洪水)是一类混沌动力系统,并提出了许多混沌预测方法。水文混沌性识别和混沌预

收稿日期:2001203229

基金项目:国家自然科学基金重大项目(50099620)、四川大学高速

水力学国家重点实验室开放基金(2008)和四川大学青年科学研究基金(2001)资助项目

作者简介:袁　鹏(19502),男,副教授.研究方向:水文水资源.

测方法仅仅作了初步探索工作[1,2,3],还需要进行详尽研究。降雨是水文系统的输入,研究它的演变特

性,对于水文水资源系统的预报、模拟是十分重要的。以四川省6个水文站的月降雨量时间序列为例,探讨降雨系统的混沌特性。

1　降水系统混沌性识别原理

1.1　相空间重构

由Pacard和Takens提出的重构相空间理论[4],将混沌理论引入到非线性时间序列分析中。要识别混沌现象,需根据实测资料重构动力系统相空间。降水系统极其复杂,可认为是一动力系统,其系统演化的动力方程用动力系统控制方程描述:

dxi=fi(x1,x2,…,xm),　i=1,2,…,m　(1)dt

第1期袁　鹏,等:月降雨量时间序列中的混沌现象17

系统的时间演变由多个变量(x1,x2,…,xm)所

张成的m维相空间的轨迹来刻划。

T

(2)X(t)][x1(t),x2(t),…,xm(t)]对于单变量降雨时间序列,只需将(1)式变换成

m阶非线性微分方程,即:

(m)(m-1)

)(3)x=F(x,x′,x″,…,x　　变换后的降雨系统的新轨迹为:

(t),…,x(m-1)(t)]T(4)X(t)][x(t),x′

　　将(4)式离散化,即为单变量延滞时间的降雨时间序列{xi}(1=1,2,…,n)的重构相空间:

),x(t+2τ),…)]TX(t)][x(t),x(t+τ,x(t+(m-1)τ了相空间的嵌入维数。D2能提供降雨系统的动态

信息。饱和关联维的存在说明了系统吸引子的存在,表明该系统具有混沌特性;相反,系统为随机系统或确定性系统。饱和关联维数的大小定量表征系统演化的复杂性。

2　实例研究2.1　基本资料以四川省几个大的水文站实测月降雨量时间序列为例,研究月降雨量时间序列是否存在混沌特性。基本资料情况见表1。

表1　降雨基本资料概况

Tab.1　Theoutlineofbasicprecipitationdata

站名成都乐山雅安西昌广元若尔盖

资料长度/a

404040404034

(5)　　　　　　　t=1,2,…,N式中,τ为滞时;N为相点数,N=n-(m-1)τ;]

(5)式描述了表示等价于;X(t)为m维相空间矢量。降雨系统在m维相空间的演化轨迹。水文水资源系统相空间重构的关键技术在于滞时τ和嵌入维数m的确定。实际工作中,τ和m都不宜过大和过小,它们是相互制约的。选取滞时τ的常用方法有自相关函数法和互信息法。嵌入维数m常用G-P法[5]。2.2　吸引子分维数D2计算

起迄时间

1951～1990年1951～1990年1951～1990年1951～1990年1951～1990年1957～1990年

降雨系统的运动轨迹是十分复杂的。混沌现象识别的基本方法是刻划相空间中奇怪吸引子的特征。Hausdroff维、信息维、关联维、Lyapunov指数以及kolomogrov熵等是揭示混沌特性的一些定量指标。本文采用关联维方法。

关联积分定义为:

N1)　　i≠jCm(r)=2∑H(r-‖Xi-Xj‖

N

i,j=1

2.2　饱和关联维数D2计算2.2.1　相空间重构

设某站i年j月降雨时间序列{pi,j}(i=1,2,

…,n;j=1,2,…,12);将{pi,j}表示成长序列xt(t=1,2,…,12n)。要重构相空间,必须先确定滞时τ。这里使用自相关函数法,即:

n-kt=1∑(x

t

n

-x󰁡)(xt+k-󰁡x)

(10)

t

(6)

rk=

式中,N同前;H(a)为符号函数,a≥0,H(a)=1;

a<0,H(a)=0;‖Xi-Xj‖表示第i相点Xi与第j相点Xj间的欧氏距离;r为给定的正小数,称临界距离,凡距离小于r的向量称为关联向量;Cm(r)是m维相空间中所有两相点距离小于r的概率。Cm(r)与r在一定区段内有:

D(m)

(7)Cm(r)∝r称(7)式为标度关系,则指数D(m)即为关联维数:

lnCm(r)

(8)D(m)=lim

r→0lnr

　　当m足够大时,D(m)不再随m发生变化,于是得到降雨系统的饱和关联维数,即吸引子分维数

D2:

D2=limD(m)

m→∞

t=1

∑(x

-x󰁡)2

式中,rk表示第k阶自相关系数;󰁡x为xt均值。自相

关系数接近0时对应的k即是所求的τ。各站获得的滞时τ见表2。

表2　滞时τ、最小嵌入维数m3和饱和关联维数计算成果Tab.2　Thecalculatedresultsoflagtimeτ,minimumembedded

dimensionandsaturateddimension　　　　　　　　

站名成都乐山雅安西昌广元若尔盖

滞时τ

332333

最小嵌入维数m3

566687

饱和关联维数D2

2.052.212.032.372.472.58

(9)

　　此时,D2对应的m

3

为最小嵌入维数,即确定

2.2.2　饱和关联维数D2计算

(7)和(8)分别对上　　由重构相空间,根据式(6)、

18四川大学学报(工程科学版)第34卷

述六站月降雨量时间序列进行饱和关联维数D2计算,计算成果分别见图1～6。从上述各图可获得各站最小嵌入维数m3和饱和关联维数D2,见表2。

图3　雅安站月降雨量关联维数计算

　Fig.3　Correlationdimensionofmonthlyprecipitation

timeseriesinYa’an　　　　　　

图1　成都站月降雨量关联维数计算

　Fig.1　Correlationdimensionofmonthlyprecipitation

timeseriesinChengdu　　　　　　　

图4　西昌站月降雨量关联维数计算

　Fig.4　Correlationdimensionofmonthlyprecipitation

timeseriesinXichang　　　　　　

图2　乐山站月降雨量关联维数计算

　Fig.2　Correlationdimensionofmonthlyprecipitation

timeseriesinLeshan　　　　　

第1期袁　鹏,等:月降雨量时间序列中的混沌现象19

且随嵌入维数m增加,直线段趋于平行;从估计的

关联维数D(m)随m的变化情况看,当m≥5时,

D(m)近似稳定。由此可确定饱和关联维数D2=

2.05和最小嵌入维数m3=5。也就是说,成都站月

降雨变化在相空间中的运动轨迹收缩到一个约2.05维的吸引子上,描述该动力系统需5个独立变量。可见,成都站降水系统可能存在混沌现象。同样,对乐山站、雅安站、广元站、西昌站和若尔盖站月降雨资料进行分析。对于乐山站,见图2,D2

=2.21和m

3

=6;对于雅安站,见图3,D2=2.03

和m3=6;对于西昌站,见图4,D2=2.37和m3=6;对于广元站,见图5,D2=2.47和m3=8;对于

若尔盖站,见图6,D2=2.58和m3=7。也就是说,乐山站、雅安站、广元站、西昌站和若尔盖站月降水系统可能存在混沌现象。

图5　广元站月降雨量关联维数计算

　Fig.5　Correlationdimensionofmonthlyprecipitation

timeseriesinGuangyuan　　　　　　

3　结　语

通过四川省6个水文站月降水量时间序列的分析和计算,表明降水系统可能具有混沌特性,从而暗示复杂变化的降水系统可能是非线性混沌动力系统演化的结果。正因为降雨的混沌性,水文水资源系统才如此复杂和多变。只有对降雨系统的混沌性进行客观识别,才能正确掌握它的演变规律;在深入探索降雨混沌特性的基础上,引入一些混沌预测方法[1,3,6]对降水量进行预测,对提高预测精度将起着重要的作用。参考文献:

[1]赵永龙.水文动力学混沌分析及其非线性预测[D].成都:

四川联合大学,1997.

[2]丁　晶.洪水混沌分析[J].水资源研究,1992,13(3):14～18.

[3]AmilcarePorporato,LucaRidolfo.Nonliearanalysisofriverflowtimesequences[J].WaterResourcesResearch,1997,33(6):1353～1367.

[4]PackardNH.Geometryfromatimeseries[J].PhysRevLett,1980,459:712～716.

[5]GrassbergerP,ProcacciaI.Characterizationofstrangeattractors[J].PhysRevLett,1983,50(5):346～349.

[6]林振山.长期预报的相空间理论和模式[M].北京:气象

图6　若尔盖站月降雨量关联维数计算

　Fig.6　Correlationdimensionofmonthlyprecipitation

timeseriesinRuoErgai　　　　　

2.3　分析与讨论

由图1,对成都站月降雨资料而言,当滞时τ确

定后,lnCm(r)与lnr的关系曲线在无标度区呈直线

出版社,1993.

(编辑　张　琼)