《用因式分解法求解一元二次方程》教学设计

《用因式分解法求解一元二次方程》教学设计

山东省泰安第六中学 张治伟

一、教学目标： 知识与技能目标

1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；

2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；

3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。 过程与方法目标

1、通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、特殊的方法，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程；

2、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方 法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。 情感与态度目标

1、经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心；

2、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提

高观察、分析、概括等能力。 二、教学过程分析 第一环节：复习回顾

1、 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法:（2）配方法:(3)公式法:

(x+m)2=n (n≥0)

 x2=a (a≥0)

bb24ac2x.b4ac0.2a2、选择合适的方法解下列方程：

（1）x -4 = 0（2）x +10x = 24（3）3x -2x -1=0 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。 第二环节：情景引入

内容：1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？ 生：齐答行。

师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？

说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。

附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程

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x=3x ∴x-3x=0

∵a=1,b= -3,c=0 ∴ b-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。 学生B：

设这个数为x，根据题意，可列方程 x=3x ∴ x2-3x=0

x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2 (x-3/2) 2=9/4

∴ x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴这个数是0或3。

学生C：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

学生D：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x

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两边同时约去x,得 ∴ x=3 ∴ 这个数是3。 2、师：同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?

说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。

3、师： 我们再来看c同学解方程x=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法来解一元二次方程。

目的：通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了因式分解的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点. 第三部分：方法探究

1、 如果ab=0，那么a=0或b=0 2、 若x(x-2)=0,则x= 或x-2=

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3、 3、若(x+6)(x-2)=0,则x+6= 或x-2=

4、 思考： 若(2x-1)(x+2)=0,你知道这个方程的解吗？

总结：由A B=0得A=0或B=0（ A、B表示两个一次因式）

尝试练习

(1)x(x2)0(2)(y2)(y3)0(3)(3x2)(2x1)0第四环节： 例题解析 变式巩固 1、解下列方程：

(1)5x=4x(仿照引例学生自行解决)

(2)3x(x 2)x 2)(2) 5( 0 (学生自行完成)

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学生G：解方程（1）时，先把它化为一般形式，然后再因式分解求解。

解：（1）原方程可变形为

5X-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0或5X-4=0

∴ X1=0, X2=4/5 2、变式练习

)xx(x2) （2）2x+6=(x+3)2 (1 2

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学生K：老师，解方程时能否将原方程展开后再求解 师：能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。

3、例2：解方程 x2－4=0

学生M：方程x-4=0的右边是0，左边x-4是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解。

师：好﹗这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。

问题：用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流)

说明：在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法因式分解。 变式练习 解下列方程：

（1） 2（x-3）2=x2-9 (2)（x-2）2=（2x+3）2 第五环节 感悟与收获 内容：师生互相交流总结

1、 因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。 2、 在应用因式分解法时应注意的问题。 3、 因式分解法体现了怎样的数学思想?

目的：鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。 实际效果：学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概

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括能力和语言表达能力；同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。 第六环节 布置作业

课本70页习题8.9 1、2题。