专升本高等数学一（解答题）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设函数y=f(x)由方程xef(y)=ey所确定，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求
．
正确答案：方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对x求导可得：+f’(y)y’=y’，再对x求导，一
+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，代y’并解出：y’’=
一． 涉及知识点：一元函数微分学
2． 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使
=a+b．
正确答案：因a，b＞0，故0＜
＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，
．又分别在[0，ζ]，[ζ，
f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=
1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一
ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考虑到1－
，并将上两式相加，得
x2使
=1，即存在不相等的x1，
=a+b． 涉及知识点：一元函数微分学
3． 求 正
在t=1处的切线方程．
确
答
案
：
由
dy=而01
t=1
时
，
y=a
，
x=
，∫
，故切线方
程为y一a=x． 涉及知识点：一元函数积分学
4． 设D为曲线y=x2与直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴转一周所得旋转体的体积V．
正确答案：由
可解得两曲线的交点为(0，0)，(1，1)．旋转体的体
积V=∫01π[x2一(x2)2]dx=元函数积分学
． 涉及知识点：一
5． 设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，确定了函数z=f(x，y)，求．
正确答案：在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边对x求导，则有2cos(x＋2y—3z)．
，整理得
．同
理，由2cos(x＋2y一3z)，得
=1．也可使用公式法求解：记
F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，则Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，Fy=2cos(x+2y一3z)．2—2，Fx=2cos(x+2y一3z)一1，故
=1． 涉及知识点：多元函
数积分学
6． 某工厂建一排污无盖的长方体，其体积为V，底面每平方米造价为a元，侧面每平方米造价为b元，为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少?
正确答案：设长方体的长、宽分别为x，y，则高为题意可得
z=axy+2b(x+y)
，又设造价为z，由
(x＞0，y＞0)，
由于实际问题可知造价一定存在最小值，故
x=y=就是使造价最小的取值，此时高为．所以，排污无盖的长方体
的长、宽、高分别为
多元函数积分学
7． 计算
时，工程造价最低． 涉及知识点：
ydy．
正确答案：
多元函数积分学
8． 计算
涉及知识点：
，其中D由Ox轴及曲线y=围成．
正确答案：
涉及知识点：多元函数积分学
9． 设函数f(x，y)连续，且f(x，y)=x+x=1，y=2围成，求f(x，y)．
正确答案：设A=ν
)d
μ
d
ν
=x+yA
，
两
yf(μ，ν)dμdν，其中D由y=，
，故f(x，y)=x＋
边
求
二
重
积
分
yf(μ，，
则
从而A=，故f(x，
y)=x+y． 涉及知识点：多元函数积分学
求下列曲线积分：
10． ∫Lxds，其中L为抛物线y=x2上从点O(0，0)到点A(1，)的一段弧；
正确答案：因y=x2，0≤x≤1，且y’=x，所以ds=∫
01x
涉及知识点：多元函数积分学
11． ∫L
第一拱．
dx，于是∫Lxds=
．
正确答案：x’(t)=1一cost，y’(t)=sint，所以于是
涉
及知识点：多元函数积分学
12． 求9y’’＋6y’+y=0的通解．
正确答案：对应的特征方程为9r2+6r＋1=0，解得r=方程的通解为y=
，为二重根，故原
(C1+C2x)．其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：
常微分方程
13． 求在Oy轴上的截距为4且垂直于Oy轴的平面方程．
正确答案：平面在Oy轴上的截距为4，则平面过点(0，4，0)，平面垂直Oy轴则平面的法向量为n=｛0，1，0｝，因此平面的方程为y一4=0． 涉及知识点：向量代数与空间解析几何
14． 设f(x)为连续函数，由∫0xtf(t)dt=x2+f(x)所确定，求f(x)。
正确答案：由于f(x)为连续函数，所以∫0xtf(t)dt出可导，进而可知f(x)=j∫0xtf(t)dt-x2可导，如果对所给关系式两端关于x求导，可得f(x)=2x+f’(x)，记y=f(x)，则上式可化为y’-xy=-2x，为一阶线性微分方程，且此时为标准形式，
p(x)=-x，q(x)=-2x，
从而由所给关系可知，当x=0时有∫00tf(t)dt=02+f(0)，从而f(0)=0，即y | x=0，代入前面求得的通解0=y|x=0 =C.e0+2，得知C=-2，故y=2-为所求解。
解析：所给关系式中含有变上限积分，为了能求得f(x)，通常可以利用微分法消除变上限积分，将所给关系式化为微分方程。 知识模块：常微分方程
15． 求微分方程y”+6y’+13y=0的通解。
正确答案：y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)
解析：所给问题为求二阶常系数齐次线性微分方程的通解。特征方程为r2+6r+13=0，故r=-3±2i为共轭复数根，于是通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)。 知识模块：常微分方程
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