(完整word版)高中数学必修二复习教师版+学生版(知识点+例题+练习+详解)

2022-07-18 来源：客趣旅游网

(完整word版)高中数学必修二复习教师版+学生版(知识点+例题+练习+详解) 高中数学必修二复习（教师版） <知识归纳> 一、多面体（三视图、表面积、体积）二、空间两直线的位置关系：平行、相交、异面两异面直线所成的角：范围为（0°, 90°] BC直线l1：A1xB1yC10，斜率k1与直线l2：A2xB2yC20，斜率k2 [k,b] AA1、平行：A1B2A2B10, 且AC12A2C10或者k1k2,b1b2 2、垂直：（1）k1不存在，k20，则两直线一定垂直；（2）A1A2B1B20（斜率都存在时），或k1k21 3、夹角：限制条件: k1k2或只有一个存在（1）夹角公式：tankkk2k1；（2）到角公式：tan21 1k1k21k1k24、两平行线间的距离：dC1C222 5、点到直线的距离公式：d ABAx0By0CAB22三、直线和平面的位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 1、直线在平面内——有无数个公共点 2、直线和平面相交——有且只有一个公共点（1）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,范围为[0°，90°] （2）三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（3）直线与平面垂直的判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（4）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 3、直线和平面平行——没有公共点（1）判定：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行四、两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线 1、平行（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行 2、相交 1

（1）二面角（平面角）取值范围为 [0°，180°] ；直二面角：两平面垂直

（2）两平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（3）两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

（4）二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理五、直线与方程

1、直线的倾斜角取值范围是0°≤α＜180°

2、直线的斜率用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在 3、过两点的直线的斜率公式：k注意下面三点：

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；

(3)求斜率由直线上两点的坐标直接求得. 4、直线方程

①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 y2y1(x1x2)

x2x1l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0

②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1xy④截矩式：1

ab其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b

⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0） 1各式的适用范围注意：○

2特殊的方程如：平行于x轴的直线：yb（b为常数） ○；

平行于y轴的直线：xa（a为常数）；

5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系

平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0xB0yC0（C为常数）（2）垂直直线系

垂直于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：B0xA0yC0（C为常数）（3）过定点的直线系

① 斜率为k的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0；

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② 过两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为，其中直线l2不在直线系中 A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）6、两条直线的交点

l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。 A2xB2yC20①方程组无解l1//l2 ；②方程组有无数解l1与l2重合 7、距离公式

（1）两点距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|(x2x1)2(y2y1)2（2）Bx2,y2）点到直线距离公式：点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离dAx0By0C

A2B2（3）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解或d六、圆的方程

C1C2AB22

1、标准方程xaybr2，圆心a,b，半径为r；

222、一般方程x2y2DxEyF0

22DE，半径为r1①当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,222D2E24F

2222②当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图形。

3、求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

①若利用圆的标准方程，需求出a，b，r； ②若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。七、直线与圆

1、直线与圆的位置关系：相离，相切，相交：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，则有

A2B2drl与C相离；drl与C相切；求解k，得到方程【一定两解】

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，(3)过圆上一点的切线方程：圆(xa)2(yb)2r2，圆上一点为(x0,y0)，则过此点的切线方程为

2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:xa12yb12r2，

① ② ③ ④ ⑤

当dRr时两圆外离，此时有公切线4条；

当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线2条，内公切线1条（共3条公切线）；当

时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有2条外公切线；

当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有1条公切线；当dRr时，两圆内含；

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⑥

当d0时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在两点连线的中垂线上；

已知两圆相切，两圆心与切点共线；

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

补充：

一、重心——中线的交点；垂心——高的交点；外心——中垂线的交点；内心——角平分线的交点二、已知圆以Ax1,y1,Bx2,y2为直径，则该圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 三、切线长公式：P(x0,y0)，圆

22y0Dx0Ey0F0 ,则dx0k四、弦长公式：弦两端点：P1x1,y1,P2x2,y2，弦所在直线的斜率为，

则d1k2x1x2或d1

1y1y2 k2<例题讲解>

例1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC平面BDE

证明（１）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE

（2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O

∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。

例2、已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线L平行于AB,且分别交AC,BC于E, F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的

1.求直线L的方程. 44

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11，∵EF∥AB∴ 直线EF的斜率为 K= 221∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，∴E是CA的中点。

4551又点E的坐标（0，）直线EF的方程是yx，即x2y50

222解：由已知，直线AB的斜率K=

例3、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３ＡＤ，Ｅ，Ｆ为ＡＢ的两个三等分点，ＡＣ，ＤＦ交于点Ｇ，建立适当的直角坐标系，证明：ＥＧＤＦ

解：以AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，建立直角坐标系

设AD=1（单位）则D（0，1）A（0，0），E（1，0），F（2，0） C（3，1），求得直线AC的方程为y1x，直线DF的方程为x2y20 361xyx5解方程组 得 所以点G的坐 3y2x2y205

例4、如图：直线L1 的倾斜角1=30０，直线 L1L2 ，则L2的斜率为（）Ａ、

3 Ｂ、 33 Ｃ、3 Ｄ、3 3例5、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SBC

AMBN=， SMND(完整word版)高中数学必修二复习教师版+学生版(知识点+例题+练习+详解)

证明：连结AN并延长交BC于点G，并连结SG∵平行四边形ABCD ∴

BNANAMBNANAM=，∵ = ∴= NDNGSMNDNGSM∴MN∥SG

例6、21、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程.

2a5b92a5b7

解：设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得

22522252经整理得，2a5b10，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以a4b10

2a5b10a3解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（２，３）所以直线Ｌ的方

a4b10b1程为

y(1)x(3)，即4x5y70

3(1)2(3)例7、已知三条直线L1：X2Y0 L2：Y10 L3：2XY10两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程

如图：通过计算斜率可得L1L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆

x2y0x2解方程组 得所以点A的坐标（-2，-1）

y10y1

2xy10x1解方程组 得所以点B的坐

y10y1线段

标（1，-1）

1的中点坐标是(,1)，又

2AB(21)2(11)23

19所以圆的方程是(x)2(y1)2

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例8、与直线7x24y5平行，并且距离等于3的直线方程是

7x24y800或7x24y700

例9、已知点M（a，b）在直线3x4y15上，则a2b2的最小值为 3

例10、圆：B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ C ） x2y24x6y0和圆：x2y26x0交于A、

A. x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、 3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0

例11、圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ B ）

A、 2 B、12 C、12 D、122 2例12、在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4,DD13，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值连接A1D， A1D//B1C,BA1D为异面直线A1B与B1C所成的角. 连接BD，在△A1DB中，A1BA1D5,BD42，

A1B2A1D2BD22525329 则cosBA1D 2A1BA1D25525

例13、如图，射线OA、OB分别与x轴成45角和30角，过点线AB分别与OA、OB交于A、B．

（Ⅰ）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；（Ⅱ）当AB的中点在直线yP(1,0)作直

1x上时，求直线AB的方程． 2解：（Ⅰ）由题意得，OA的方程为yx，OB的方程为y7

3x，设A(a,a)， 3(完整word版)高中数学必修二复习教师版+学生版(知识点+例题+练习+详解)

a3b2 得 a31， B(3b,b)。∵ AB的中点为P(1,0)， ∴ ab0∴ kAB313231 即AB方程为 (31)xy310

1a3bab,)在直线yx上，

222 （Ⅱ）AB中点坐标为(则

ab1a3b，即a(23)b ① 222ab ② a13b1∵ kPAkPB， ∴

由①、②得a3 ，则 kAB33， 2所以所求AB的方程为(33)x2y330

例14、方程x2+y2-x+y+m=0表示圆则m的取值范围是 ( C ) A、 m≤2 B、 m<2 C、 m< D、 m ≤

1212例15、若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ B ） A．若//,l,n，则l//n B．若,l，则l C. 若l,l//，则 D．若ln,mn，则l//m

例16已知三点A（－2,－1）、B（x，2）、C（1，0）共线，则x为：（ A ）

A、7 B、-5 C、3 D、-1

例17、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点．

（Ⅰ）AC1//平面B1MC；

（Ⅱ）求证：平面D1B1C⊥平面B1MC．

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（Ⅰ）MO//AC1；

（Ⅱ）MO∥AC1，AC1⊥平面D1B1C ，MO⊥平面D1B1C ，平面D1B1C⊥平面B1MC．

例18、在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x2y10，∠A的平分线所在直线的方程为y0，

若点B的坐标为（1，2），求点 A和点 C的坐标．．

y0x1由 得，即A的坐标为 (1,0)，

x2y10y0∴ kAB20，又∵ x轴为∠BAC的平分线，∴ kACkAB1，11

又∵ 直线 x2y10为 BC边上的高， ∴ kBC2．设 C的坐标为(a,b)，则

bb21，2， a1a1解得 a5，b6，即 C的坐标为(5,6)．

例19、已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，它的对角线的交点

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是M(3， 0)，求这个四边形的其它两边所在的直线方程．

xy70和3xy220．

例20 、线l通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l的方程是（ A ）

A．3xy60 B．3xy0 C．x3y100 D．x3y80

<练习集锦>

一、选择题

1．若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为（ B ）

A．3 B．3 C．33 D．-33 2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ D ）

A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 3．直线y3x1关于y轴对称的直线方程为（ C ）

A．y3x1 B．y3x1 C．y3x1 D．yx1 4．下列四个命题

① 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ② 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面相互平行； ④ 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直.

其中错误．．

的命题有（ B10

）(完整word版)高中数学必修二复习教师版+学生版(知识点+例题+练习+详解)

A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个

5．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（ C ） A.

3 B. 23 C. 43 D. 83 6．直线1axy10与圆x2y22x0相切，则a的值为（ D ） A. 1，1 B. 2 C. 1 D. 1

7. 若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①⊥，⊥，则⊥；②⊥，∥，则⊥；③l∥，l⊥，则⊥. 其中正确的命题有( C )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8．圆(x1)2y21和圆x2y26y50的位置关系是（ C ）

A．相交 B．内切 C．外离 D．内含 9．如图，正方体ABCDABCD中，直线DA与DB

所成的角可以表示为（ D ） A．DDB B．ADC C．ADB D．DBC

10．已知点A(1,2,11)，B(4,2,3)，C(6,1,4)，则△ABC的形状是（ B ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 11．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ C ）

A. 22R3 B.

A A D B C

D B

4833R3 C. 3R3 D. R 399212．若P2，1为圆x1y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ A ） A．xy30 B．xy30 C．xy30 D．xy30

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二、填空题

13．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是x2y50． 14．以点A(2, 0)为圆心，且经过点B(1, 1)的圆的方程是(x2)2y210．

15．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三角形三边的距离之和为定值.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点到四面体的四个面的距离之和为定值．

三、解答题

16.已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10.

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.

3x4y20,x2,解：（Ⅰ）由 解得

2xy20.y2.由于点P的坐标是（2，2）. 则所求直线l与x2y10垂直，可设直线l的方程为 2xyC0.

把点P的坐标代入得 222C0 ，即C2. 所求直线l的方程为 2xy20.

（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S1121. 2P17.如图，四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中E是PO底面ABCD，心，

PC的中点．

求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；

（Ⅱ）平面PAC平面BDE.

OABDEC(完整word版)高中数学必修二复习教师版+学生版(知识点+例题+练习+详解)

证明：（Ⅰ）连结OE．

∵O是AC的中点，E是PC的中点， ∴OE∥AP，

又∵OE平面BDE，PA平面BDE， ∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO底面ABCD，

∴POBD，

又∵ACBD，且ACPO=O， ∴BD平面PAC．而BD平面BDE， ∴平面PAC平面BDE．

18. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线axy50(a0)与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(2, 4)，若存在，求出

实数a的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）设圆心为M(m, 0)（mZ）．

由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以即4m2925．因为m为整数，故m1．

故所求圆的方程为(x1)2y225．

（Ⅱ）把直线axy50即yax5．代入圆的方程，消去y整理，得

4m295， 5(a21)x22(5a1)x10．

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由于直线axy50交圆于A,B两点，故4(5a1)24(a21)0．即12a25a0，由于a0，解得a所以实数a的取值范围是(5． 125, )． 121， a（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由于a0，则直线l的斜率为1l的方程为y(x2)4，即xay24a0．

a由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1, 0)必在l上．所以1024a0，解得a3． 435由于(, )，

4123故存在实数a，使得过点P(2, 4)的直线l垂直平分弦AB．

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高中数学必修二复习（学生版） <知识归纳> 一、多面体（三视图、表面积、体积）二、空间两直线的位置关系：平行、相交、异面两异面直线所成的角：范围为（0°, 90°] BC直线l1：A1xB1yC10，斜率k1与直线l2：A2xB2yC20，斜率k2 [k,b] AA1、平行：且或者。 2、垂直：。 3、夹角：限制条件: k1k2或只有一个存在（1）夹角公式：；（2）到角公式： 4、两平行线间的距离： 5、点到直线的距离公式：三、直线和平面的位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 1、直线在平面内——有个公共点 2、直线和平面相交——有个公共点（1）直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,范围为[0°，90°] （2）三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（3）直线与平面垂直的判定：（4）直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 3、直线和平面平行——没有公共点（1）判定：（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行四、两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线 15

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1、平行

（1）判定：（2）性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行 2、相交

（1）二面角（平面角）取值范围为 [0°，180°] ；直二面角：两平面垂直

（2）两平面垂直的判定：（3）两个平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

（4）二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理五、直线与方程

1、直线的倾斜角取值范围是

2、直线的斜率用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在

3、过两点的直线的斜率公式：注意下面三点：

(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；

(3)求斜率由直线上两点的坐标直接求得. 4、直线方程

①点斜式：，直线斜率k，且过点x1,y1 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0

②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③两点式：（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

④截矩式：

其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b ⑤一般式：（A，B不全为0） 1各式的适用范围注意：○

2特殊的方程如：平行于x轴的直线：yb（b为常数） ○；

平行于y轴的直线：xa（a为常数）；

5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线（1）平行直线系

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平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0xB0yC0（C为常数）（2）垂直直线系

垂直于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：B0xA0yC0（C为常数）（3）过定点的直线系

① 斜率为k的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0；

l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。 A2xB2yC20①方程组无解l1//l2 ；②方程组有无数解l1与l2重合 7、距离公式

Bx2,y2）（1）两点距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，则

（2）点到直线距离公式：点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离

（3）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解或六、圆的方程

1、标准方程，圆心a,b，半径为r； 2、一般方程

22DE，半径为r1①当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,222D2E24F

2222②当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图形。

3、求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

1、直线与圆的位置关系：相离，相切，相交：

（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，则有

A2B2drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程：圆(xa)2(yb)2r2，圆上一点为(x0,y0)，则过此点的切线方程为

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

2、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

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设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2

B. C. D. E. F. G.

当dRr时两圆，此时有公切线4条；

当dRr时两圆，连心线过切点，有外公切线2条，内公切线1条（共3条公切线）；当RrdRr时两圆，连心线垂直平分公共弦，有2条外公切线；当dRr时，两圆，连心线经过切点，只有1条公切线；当dRr时，两圆；当d0时，为圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在两点连线的中垂线上；

已知两圆相切，两圆心与切点共线；

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

补充：

一、重心——中线的交点；垂心——高的交点；外心——中垂线的交点；内心——角平分线的交点二、已知圆以Ax1,y1,Bx2,y2为直径，则该圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

22y0Dx0Ey0F0 三、切线长公式：P(x0,y0)，圆x2y2DxEyF0,则dx0k四、弦长公式：弦两端点：P1x1,y1,P2x2,y2，弦所在直线的斜率为，

则d1k2x1x2或d1

1y1y2 k2<例题讲解>

例1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE （2）平面PAC平面BDE

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例2、已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线L平行于AB,且分别交AC,BC于E, F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的

1.求直线L的方程. 4例3、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３ＡＤ，Ｅ，Ｆ为ＡＢ的两个三等分点，ＡＣ，ＤＦ交于点Ｇ，建立适当的直角坐标系，证明：ＥＧＤＦ

例4、如图：直线L1 的倾斜角1=30０，直线 L1L2 ，则L2的斜率为（）Ａ、

3 Ｂ、 33 Ｃ、3 Ｄ、3 3例5、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且

AMBN=， SMND19

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求证：MN∥平面SBC

例6、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程.

例7、已知三条直线L1：X2Y0 L2：Y10 L3：2XY10两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程

例8、与直线7x24y5平行，并且距离等于3的直线方程是

例9、已知点M（a，b）在直线3x4y15上，则a2b2的最小值为

例10、圆：和圆：x2y26x0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）

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A. x+y+3=0 B、2x-y-5=0 C、 3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0

例11、圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（）

A、 2 B、12 C、12 D、122 2例12、在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4,DD13，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值

例13、如图，射线OA、OB分别与x轴成45角和30角，过点P(1,0)作直线AB分别与OA、OB交于A、

B．

（Ⅰ）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；（Ⅱ）当AB的中点在直线y1x上时，求直线AB的方程． 2

例14、方程x2+y2-x+y+m=0表示圆则m的取值范围是 ( )

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A、 m≤2 B、 m<2 C、 m< D、 m ≤

1212例15、若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（） A．若//,l,n，则l//n B．若,l，则l C. 若

，则 D．若ln,mn，则l//m

例16已知三点A（－2,－1）、B（x，2）、C（1，0）共线，则x为：（）

A、7 B、-5 C、3 D、-1

例19、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点．

（Ⅰ）AC1//平面B1MC；

（Ⅱ）求证：平面D1B1C⊥平面B1MC．

例20、在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x2y10，∠A的平分线所在直线的方程为y0，

若点B的坐标为（1，2），求点 A和点 C的坐标．．

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例19、已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，它的对角线的交点是M(3， 0)，求这个四边形的其它两边所在的直线方程．

例21 、线l通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l的方程是（）

A．3xy60 B．3xy0 C．x3y100 D．x3y80

<练习集锦>

一、选择题

1．若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为（）

A．3 B．3 C．

33 D．-

332．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）

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A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 3．直线y3x1关于y轴对称的直线方程为（）

A．y3x1 B．y3x1 C．y3x1 D．yx1 4．下列四个命题

其中错误的命题有（）．．A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个

5．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（） A.

3 B. 23 C. 43 D. 83 6．直线1axy10与圆x2y22x0相切，则a的值为（） A. 1，1 B. 2 C. 1 D. 1

7. 若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①⊥，⊥，则⊥；②⊥，∥，则⊥；③l∥，l⊥，则⊥. 其中正确的命题有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8．圆(x1)2y21和圆x2y26y50的位置关系是（）

A．相交 B．内切 C．外离 D．内含 9．如图，正方体ABCDABCD中，直线DA与DB

所成的角可以表示为（） A．DDB B．ADC

D A B C

D A B

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C．ADB D．DBC

10．已知点A(1,2,11)，B(4,2,3)，C(6,1,4)，则△ABC的形状是（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 11．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）

A. 22R3 B.

4833R3 C. 3R3 D. R 399212．若P2，1为圆x1y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是（） A．xy30 B．xy30 C．xy30 D．xy30 二、填空题

13．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是 . 14．以点A(2, 0)为圆心，且经过点B(1, 1)的圆的方程是______________．

15．在平面几何中，有如下结论：三边相等的三角形内任意一点到三角形三边的距离之和为定值.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，可得：四个面均为等边三角形的四面体内任意一点_______________________________________．

三、解答题

16.已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10.

（Ⅰ）求直线l的方程；

（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.

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17.如图，四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．

求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；

（Ⅱ）平面PAC平面BDE.

PEDOABC18. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）设直线axy50(a0)与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(2, 4)，若存在，求出

实数a的值；若不存在，请说明理由．

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