北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

数 学

考生须知：

1．本试卷共6页，共三道大题，26道小题，满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．

3．答案一律填涂或书写在答题卡上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回．

一、选择题：共14小题，每小题4分，共56分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

1．已知全集U2,1,0,1,2，集合A2,1,0，则

UA （ ）

A．1,2,3 B．1,2 C．0,2 D．1,2

2．某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查，已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）

A．150人 B．200人 C．250人 D．300人 3．命题“xR,x20”的否定是（ ）

A．xR,x20 B．xR,x20 C．xR,x20 D．xR,x20

4．方程组xy0xx22解集是（ ）

A．1,1,1,1 B．1,1,2,2 C．1,1,2,2 D．2,2,2,2 5．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是10,20，并分成10,12,12,14,14,16,16,18,18,20五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是（ ） A．56 B．80 C．144 D．184 6．若实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（ ） A．ab B．acbc C．a2b2 D．ac2bc2

x7．函数fx22x的零点所在的区间为（ ）

A．2,1 B．1,0 C．0,1 D．1,2

xa8．在同一个坐标系中，函数fxlogax,gxa,hxx的部分图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

9．下列函数中，既是奇函数，又在0,上单调递减的是（ ） A．

fxx B．fxxx C．fx13fxx D ．x110．已知a20.1,blog23,clog32，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A．cab B．cba C．acb D．abc 11．已知函数fx1a，则“a1”是fx为奇函数的（ ） 2x12A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知函数fxlog2x1x2，则不等式fx0的解集为 A．,1 B．1,1 C．0,1 D．1, 13．科赫（Koch）曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：

如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线…… 在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若r该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形气维数是（ ）

A．log23 B．log32 C．1 D．2log32

D”，将1

1，则称D为Nxa,xa14．已知函数fx2，若存在非零实数x0，使得fx0fx0成立，则实数a的取值范

x,xa围是（ ）

A．,0 B．,114,02, C D ．．44二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分

15．函数fxlgx1的定义域是__________．

16．已知幂函数fx经过点2,8，则函数fx___________．

17．农科院作物所为了解某种农作物的幼苗质量，分别从该农作物在甲、乙两个不同环境下培育的幼苗中各随机抽取了15株幼苗进行检测，量出它们的高度如下图（单位：cm）：

记该样本中甲、乙两种环境下幼苗高度的中位数分别为a，b，则ab___________．

若以样本估计总体，记甲、乙两种环境下幼苗高度的标准差分别为s1,s2，则s1____s2（用“<，>或=”连接）． 18．已知函数fxx4a没有零点，则a的一个取值为_______；a的取值范围是___________． xx2,x0419．已知函数fx2，则fx的单调递增区间为________；满足fx410的整数解的

x,x0个数为____________（参考数据：lg20.30）

20．共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“Tullock竞争函数”进行近似估计，其解析式为Sxxax1xaa,x0,1,a0（其中参数a表示市

场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论： ①Sx过定点11,； 22②Sx在0,1上单调递增； ③Sx关于x1对称； 2④取定x，外部性强度a越大，Sx越小． 其中所有正确结论的序号是______________．

三、解答题：共64分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

21．（本小题12分） 化简求值：（I）41332log30.2640 （II）5log2log5 330.13π992750.522．（本小题12分）

已知一元二次方程2x23x20的两个实数根为x1,x2

11求值：（I）xx；（II）

x1x2212223．（本小题9分）

国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 东城区 门类 A：革命遗址及革命纪念建筑物 C：古建筑及历史纪念建筑物 西城区 丰台区 海淀区 房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 A：革命遗址及革命纪念建筑物 C：古建筑及历史纪念建筑物 C：古建筑及历史纪念建筑物 E：古遗址 昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 F：古墓葬 延庆区 C：古建筑及历史纪念建筑物 个数 3 5 2 1 2 1 1 1 1 1 （I）某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；

（II）小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观：小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；

（III）现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查，记抽到海淀区的概率为P1，抽不到海淀区的概率记为P2，试判断P1和P2的大小（直接写出结论）． 24．（本小题9分）

已知集合Ax|xx20,Bxx253 22（I）求AB,ARB；

MR，求实数m的取值范围．

22（II）记关于x的不等式x2m4xm4m0的解集为M，若B25．（本小题11分）

已知函数fxln1xkln1x，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题：

条件①：fxfx0

条件②：fxfx0

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分． （I）求实数k的值； （II）设函数Fx1x1x，判断函数Fx在区间上0,1的单调性，并给出证明；

kk（III）设函数gxfxx2k，指出函数gx在区间1,0上的零点的个数，并说明理由．

26．（本小题11分）

已知函数fx,gx,hx的定义域均为R，给出下面两个定义：

①若存在唯一的xR，使得fgxhfx，则称gx与hx关于fx唯一交换； ②若对任意的xR，均有fgxhfx，则称gx与hx关于fx任意交换．

2（I）请判断函数gxx1与hxx1关于fxx是唯一交换还是任意交换，并说明理由；

（II）设

fxax22(a0),gxx2bx1，若存在函数hx，使得gx与hx关于fx任

意交换，求b的值；

（III）在（II）的条件下，若gx与

xe1fx关于x唯一交换，求a的值． xe1