苏科版八年级数学上册利用轴对称巧解作图题

初中数学试卷

利用轴对称巧解作图题

数学中的轴对称知识在实际问题中有着广泛的应用．下面的几道例题虽有难度，但只要掌握轴对称这一“利器”，不费多少力气就能降服它们．

例1 如图1，直线l表示一条河流，一头牛要从A点去B点，但途中需到河边P处饮水，问：要使牛走的总路程最短，P点应在直线l的何处？

解 如图2，作出点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交直线l于点P，此点P即为所求．

证明 在直线l上任取Q点（异于P点）．若牛在点Q处饮水，连结QA、QB、QA'、

金戈铁制卷

PA，则走的总路程为AQ＋BQ，即A'Q＋BQ；若牛在点P处饮水，则走的总路程为AP＋BP，即线段A'B的长．而根据“三角形两边之和大于第三边”，A'Q＋BQ>A'B，所以在点P处饮水才符合题目要求．

例2 如图3，a、b表示两条不平行的街道，点P表示广场上的邮局，现打算在两条街道上各设置一个邮箱M、N，要使邮递员从邮局出发，到两个邮箱取完信件后返回邮局所走的路程最短，请找出点M、N的位置．

解 如图4，分别作出点P关于直线a、b的对称点P1和P2，连结P，P2，分别交直线a、b于M点和N点，此两点即为所求．

证明 分别在直线a、b上分别任取一点E、F(异于M、N点)，连结EP、EP、、EF、FP2、FP、PM、PN．若邮箱设置在E点和F点，则邮递员所走的总路程为PE＋EF＋PF，即P1E＋EF＋P2F；若邮箱设置在M点和N点，则邮递员所走的总路程为PM＋MN＋PN，即P1M＋MN＋P2N，也即线段P1P2的长．根据“两点之间线段最短”的道理，可知邮箱设置在M点和N点才使邮递员最省路．

例3 如图5，长力形台球桌上有M、N两个球，要使M球先撞击台边AD，再反弹撞击台边CD，最后恰好击中N球，请找出台球两次与台边的撞击点．

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分析 若要让M球只在一边上反弹击中N球，则与例1相同．现在要经两条边框上反弹，当然得用两次轴对称的知识，因为要满足入射角等于反射角．

解 如图6，作出点M关于AD的对称点M'，再作出点N关于CD的对称点N'．连结M'N'，分别交AD、CD于点P和点Q，点P和点Q即为撞击点．

例4 如图7，点A和点B位于直线l两侧，在l上找一点P，使直线l平分∠APB．

解 以直线l为对称轴，作出A点的对称点A'，作直线BA'，交直线l于点P(请同学们自己作图)．

例5 参照图7，点A和点B位于直线l两侧，请在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离之差最大．

解法同例4，如图8．

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证明 在直线l上任取一点P'(异于点P)，连结PA、P'A、P'A'、P'B，则P'点到A、B两点的距离之差为P'B－P'A，即P'B－P'A'．而P点到A、B两点的距离之差为PB－PA，即PB－PA'，也就等于A'B．根据“三角形两边之差小于第三边—可知：P'B－P'A'利用轴对称知识，能有力地解决作图中的“最大（长）”，“最小（短）”的问题．

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