小学数学《数学游戏》练习题(含答案)

小学数学《数学游戏》练习题（含答案）

（一） 智取火柴

【例1】 桌上放着100根火柴，甲、乙二人轮流取，每次取1～4根，规定谁取到最后一根谁获胜.假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方法.

分析：乙一定获胜，甲取几根，乙就接着取5减几根火柴.

甲取几根，乙取4减几根可以么？ 不可以，那样的话甲取4根 ，乙就没法取了. 甲取几根，乙取6减几根可以么？不可以，那样的话甲取1根，乙就没法取了.

这里我们把（1+4）根火柴看成一组，100共有20组，因为甲先取，所以每一组乙都可以取到最后一根.

[前铺]桌子上放着10根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～2根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

分析：如果获胜方在最后取得最后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方3根，要想留给对方3根，倒数第三次取时，必须留给对方6根.要想留给对方6根，倒数第四次取时必须留给对方9根，而甲每次取完都能留给乙3的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜.

[拓展一]在例1中将“每次取走1～4根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？

分析：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜.因为100÷7＝14……2，所以只要甲第一次取走2根，剩下98根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜.

由例题看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜.

[拓展二]将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？

分析：最后留给对方1根火柴者必胜，按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方5的倍数加1根火柴必胜.甲先取，只要第一次取4根，剩下96根（96除以5余1），以后每次都将除以5余1的根数留给乙，甲必胜.

由此看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数加1根火柴，谁将获胜.

[小结]我们可以把解决这类问题的一般方法总结为余数问题.，即如果有余数，则先取者胜，且取余数根数；如果没有余数，则后取者胜，每“回合”共取N+1根.

【例2】 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.

分析：采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中

心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.

[巩固]今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根.两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取.规定取得最后一根者为赢.问：先取者有何策略能获胜？

分析：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同.

先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同.以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴.只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者总可获胜.

请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？

[拓展]有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴.甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜.如果采用最佳方法，那么谁将获胜？

分析：谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜.

甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根.无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜.

【例3】 有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.

（1）甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？

（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？

分析：为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，….

把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.

由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

所以， （1）甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.

【例4】 有一种“抢某个数字”的游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数(都是自然数)，最后谁报到规定的“某个数字”为胜．如“抢50”游戏，规定每次必须报1．2个自然数，从1开始，谁抢报到50为胜．例如甲先报l，乙就可接着报2或2，3；若乙报2，甲就可接着报3或3，4；若乙报2，3；甲就可接着报4或4，5．依次下去，谁能报到50为胜．如果你是甲，并且先报数，有没有必胜的策略?

分析：由于每次必须报1～2个自然数，那么甲先报1次后，就可保证每次与乙刚报的数字数目之和为3．如乙报1个数，甲就接着报2个数；若乙报2个数，甲就接着报1个数．因此，甲若想必胜，报完第一次数剩下的数的个数必须是3个倍数才可以．而50=3×16+2，因此甲有必胜的策略：甲先报1，2，然后，乙若报1个数，甲就报2个数；乙若报2个数，甲就报1个数．

[拓展]若是抢别的数字，规定每次必须报别的一定数目的自然数，先报数的人还有没有必胜的策略?

分析：借鉴前面经验，若是“抢40”游戏，规定每次必须报1～3个自然数，从1开始轮流往后报数．若甲先乙后，则乙有必胜的策略．因为乙可以保证每次与甲刚报完的数字数目之和为4，而40=4×10刚好是4的倍数．

推广开来，若是“抢数字a”游戏，每次必须报1～n个自然数，从1开始轮流往后报数，且甲先乙后， 那么会有两种情况：

情况1：若a是(1+n)的整数倍，则后报数的乙有必胜的策略； 情况2：若a不是(1+n)的整数倍，则先报数的甲有必胜的策略，且甲先报的数字个数必须是数字.除以(1+n)的余数．

说明：“抢数字”游戏还有很多与之类似的变形游戏.如果你对“抢数字”游戏的规则与玩法非常熟悉的话，那么类似的变形游戏就会“如鱼得水”.不费功夫了．

[小笑话] 某天军训中，教练对同学说：“第一排报数！”小明惊讶的看着教练.教练很奇怪的又说了一遍：“第一排报数！”小明还是很无奈很惊讶的看着教练.教练又大声说了一遍：“第一排报数！”于是小明极其不情愿的走到大树前抱着树.

（二）其它游戏中的取胜策略

【例5】 有100个人站成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？

分析：将这100个人从左到右依次编号为1，2，3，…，98，99，100．

第一次报完后.剩下的是2的倍数， 2，4，6，8，10，…，96，98，100． 第二次报完后，剩下的是4的倍数，4，8，12，16，…，92，96，100． 第三次报完后，剩下的是8的倍数，8，16，24，…，80，88，96． 第四次报完后，剩下的是16的倍数，16，32，48，64，80，96． 第五次报完后，剩下的是32的倍数，32，64，96． 第六次报完后，还剩下一人，也就是第64人． 所以要想获胜，应站在队伍中的第64个位置.

[数学趣题]神父的诡计

一艘不大的船只在海上遇到了风暴，摆在船上25位乘客面前的路只有两条：要么全部乘客与船只同归

于尽；要么牺牲一部分人的生命，把他们抛进大海，减轻船的载重量，船及其他人还有得救的可能，但是这样做至少得把一半以上的人抛进海里.大家都同意走第二条路，然而谁也不愿意自动跳进海里.乘客里有11个基督徒，其中一个是神父，于是大家就公推神父出个主意.奸诈的神父想了一下，就让大家坐成一个环形，并且从他依序报数，“1，2，3”，规定报到“3”的人就被抛进海里，下一个继续由“1”报起，同时声称这是上帝的旨意，大家的命运都由上帝来安排，不得抗拒.结果有14个人被抛进海里，而剩下的11个人全部都是基督徒.大难不死的其它10个基督徒突然醒悟过来，原来神父是用诡计救了他们.请你想想，这11个人应在什么位置，才可以避免被抛进海里去呢？

分析：神父只要让11个基督徒占领1、4、5、8、10、13、14、17、19、22、23这11个位置，就可以保证他们不被抛进海里.

红黑【例6】 右图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方．规

定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几红黑格．红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能黑红重叠在对方有棋子的格中．一直到谁无法走棋时，谁就失败．甲先乙后走

红黑棋，问甲有没有必胜的策略？

黑红

红黑分析：甲若想必胜，那么甲走一次棋后，“乙能走甲就能走”，观察棋盘，

第二、三行都有9个空格，第四、五行都有5个空格，而第一行只有1个

空格，第六行有3个空格，因此甲第1次只要将第六行也变为1个空格，那么就形成一种对称局面，“乙能走甲就能走”．因此甲有必胜的策略：甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格．以后乙走第一行，甲就相应地走第六行；乙走第二行，甲就相应地走第三行；乙走第三行；甲就相应地走第二行；乙走第四行，甲就相应地走第五行，乙走第五行，甲就相应地走第四行；乙走第六行，甲就相应地走第一行．且每次甲与乙走的格数要相同，那么最后肯定是乙无法走棋失败，甲必胜．

【例7】 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.规定不能将棋子直接从左下角移到顶格处，谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？

ABCDE

分析：采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这五个格中的某一格的人一定获胜.为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.

【例8】 在9×9棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格.二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者.问必胜的策略是什么？

分析：还是采用倒推法分析.要想占领图9—1左下角的O点，就必须先占领图9—1中的A、B、C三点之一.因为：

（1）如果你占领了A点，按照游戏规则，对方只能向下走一步，O必然被你占领. （2）如果你占领了C点，按照游戏规则，对方只能向左走一步，O点同样被你占领.

（3）如果你占领了B点，按照游戏规则，对方只能向左、向下或向左下对角线走一步.若向左走一步，你可占领A点，可以获胜；若向下走一步，你可占领C点，也可以获胜；若向左下对角线走一步，你可继续向左下对角线走一步而到达O点.

下面继续倒推，采用同样的方法分析出：要想占领A点，就必须占领D、E、B三点之一；要想占领B点，就必须占领E、F、G三点之一；要想占领C点，就必须占领B、G、H三点之一.如图9—2所示.

依此类推，即可找出应该抢占的所有“制高点”，见图9—3，一旦你占领了一个“制高点”，不管对方怎样走，你都可以去占领下一个“制高点”.

所以必胜的策略是：

（1）先走，将棋子向左下对角线走一步，到达一个“制高点”.

（2）对方每走一步后，你都设法去占领下一个“制高点”（“制高点”如图9—3中的黑点所示），而最终先到达O点.

【例9】 甲、乙两个人轮流在一个凸七边形中画对角线．规定新画的对角线不能与已经有的相交，画最后一条获胜．如果甲先画，问：谁有必胜的策略?

分析：分两种情况讨论：

（1）如图a，甲连

A，A13，分出一个三角形和一个六边形．乙只须连

A，A，将六边形分两个四

1515边形，接下来甲只能在其中一个四边形中画，而乙可在另一个里画，之后甲无法再画，乙胜． (2)如图b，甲连

A，A，分出一个四边形和一个五边形．乙只须连A，A，则甲只能在余下的两

14个四边形中的一个里画，而乙就可在另一个里画，仍然是甲先没得画．仍是乙胜． 所以，乙有必胜策略．

【例10】 桌子上有8颗瓜子，甲、乙两人轮流拿瓜子，他们规定，假如甲先拿（当然，乙也可以先拿），甲可拿任意颗瓜子，但不能拿光，接着乙拿，乙可以拿不多于甲所拿瓜子的2倍，又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿瓜子的2倍，这样交替进行，谁最后把瓜子拿光就算胜利.

分析：假如甲先拿，且拿3颗以上，则剩下的瓜子可由乙一次拿走，于是乙胜，甲输；甲为了不让乙胜，显然不能拿多于3颗的瓜子数，而只能拿2或1颗.若甲决定拿2颗，乙就可以拿1（或2、3、4）颗，如乙拿2或3或4都将认输，故乙只能拿1颗.现在桌子上只剩下5颗瓜子，且又轮到甲拿瓜子，因刚才乙只拿了一颗，故甲可拿1或2颗瓜子，如拿2颗，乙就能把剩下的瓜子拿光而获胜.所以甲只能拿1颗，接着拿瓜子的乙也可拿1或2颗，为保证胜利，乙也拿1颗，这样桌子上只剩下3颗瓜子，仍轮到甲拿瓜子，且只能拿1颗或2颗，不管怎样拿，甲都是输定了.若甲决定拿1颗，则乙就拿2颗，此时桌上只剩下5颗且甲拿，情形和以上一样.故无论何种取法甲必输.

这个数字游戏和斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…有关.8为该数列中的一项.事实上是：如果甲、乙两人都清楚这个游戏的“窍门”，那么如瓜子数是该数列的某一项，则先拿者输，如瓜子数不是该数列的某一项，则先拿者赢.

1. （例1）桌上放着60根火柴，甲、乙二人轮流取，每次可取1到3根，规定谁取到最后一根谁获胜．假设甲先取，那么谁一定获胜，如何获胜?

分析：乙一定获胜.每次可取1～3根，则甲、乙每轮所取的火柴之和总可以凑成4，例如，甲取1根，乙就取3根；甲取2根，乙就取2根；甲取3根，乙就取1根，因为60是4的倍数，无论甲如何取，乙总有相应的取法使得这一轮里火柴共被取走4根，因此，乙必定可以取走最后一根火柴.

2. （例2）现有7根火柴，甲乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止，最后计算各人所得火柴总数，得数为偶数者获胜，问先拿的人是否能取胜?应怎样安排策略?

分析：由于7是奇数，所以两人所拿的火柴数必然是一个奇数，一个偶数．而如果火柴总数是偶数的话，分成两个自然数必为同奇或同偶，因此无论如何取，只能是平局，可见如果火柴总数是偶数，比赛就没有意义了，那么我们就对火柴总数为奇数的情况，从少到多开始讨论． （1）如果共有1根火柴，那么先取的人必败，而后取的人必胜．

（2）如果共有3根火柴，这时先取的人就占据了有利位置，只要甲直接取2根，乙就只能取1根.那么先取的人必胜，后取的人必败．

（3）如果共有5根火柴，由(2)知，甲不能拿2根.因为给乙剩下3根则甲必败．如果甲选择拿1根还剩4根，那么乙有3种选择．

①乙拿1根，还剩3根，甲拿3根后总数为1+3=4根，乙只有1根，甲胜；

②乙拿2根，还剩2根，甲再拿1根后总数有1+1=2根，乙只能再拿1根，总数为2+1：3根，甲胜； ③乙拿3根，还剩1根，甲拿走后总数有1+1=2根，乙有3根，甲胜．

（4）如果有7根火柴.甲取走了3根还剩4根，该乙拿．这时的情况与共5根火柴甲取先1根一样，甲有必胜的策略．

所以先拿的人有必胜的策略，他要先取走3根火柴．

3. （例5）两人轮流报数，但报出的数只能是1至10的自然数.同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到100，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？

分析：这个问题可以倒着想，要想使总和先达到100，应该最后给对方留下多少个数呢？由于每个人报的数最大是10，最小是1，因此对方最后一次报完数后，总和最大是99，最小是90，所以最后一次应该给对方留下11个数，也就是说要先达到100，就必须先达到89.如何抢到89这个数呢？采用同样的分析方法可知，应先达到78.依此类推，可以得到每次报数应占领的“制高点”是：100，89，78，67，56，45，34，23，12，1. 所以获胜的策略是： （1）先报1；

（2）每次对方报a（1≤a≤10），你就报11-a.

这样，每次你都能占领一个“制高点”，以确保获胜.

4. （例6）甲、乙二人轮流报数，报出的数只能是1至7的自然数.同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？

分析：采用倒推法．因为每次报1至7的自然数，所以要想报到80，应抢先报到72，给对方留下8个数；同理，要报到72，应抢先报到64；以此类推，每次应抢报的数为80，72，64，56，48，40，32，24，16，8．

因此获胜的方法是： （1）让对方先报；

（2）对方报a（1≤a≤7），你就报8-a，必胜．

B5. （例8）在下图的A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次

必须向上或向右走1步或2步(走2步时可以拐弯)，最终将棋子走到B点者获胜．甲有没有必胜的策略?

A分析：因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从A到B的步数是定的，都是10步．而每次必须走1步或2步，因此，甲先走一次后，每次可保证与乙刚走的步数和为3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步．这样，甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，这一点是可以做到的．所以甲有必胜的策略：甲先走1步，然后，若乙走1步，甲就走2步；若乙走2步，甲就走1步．