数学参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，计40分）．
1 C 2 D 3 B 4 B 5 B 6 A 7 A 8 C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分 9．BCD 10．AD 11．ACD 12．ACD
三、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分）．
13．2＋𝑎 14．3 15．4 16．√2
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在△𝐴𝐵𝐶中，因为√3𝑏cos𝐴=𝑎cos𝐶+𝑐cos𝐴， 所以√3sin𝐵cos𝐴=sin𝐴cos𝐶+sin𝐶cos𝐴， 所以√3sin𝐵cos𝐴=sin(𝐴+𝐶)=sin𝐵， 因为sin𝐵≠0，
所以cos𝐴=√ ，
3得𝑐2−
2√3𝑐3
3𝑏
160000
1
……………………5分
选择①，由余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴 −1=0，
解得𝑐=√3；
c1
选择②，𝑆=2cos𝐵=2𝑏𝑐sin𝐴，
π
所以cos𝐵=sin𝐴=cos (−𝐴)， 所以𝐵=2−𝐴，即𝐶=2，解得𝑐=√3；
πππ3+6选择③，𝐶=3，因为sin𝐵=sin(𝐴+)=sin𝐴cos +cos𝐴sin=√，
ππ
π2
所以由sin 𝐶=sin 𝐵，
𝑏sin 𝐶
𝑐𝑏
3336
……………………10分 得𝑐=sin 𝐵=3√3−3√2 ．
18．（1）如下图，过点P作PM∥OB，PN∥OA分别交OA，OB点M，N，
𝐴𝑃
1
⃗⃗⃗⃗ ，所以=， 因为⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑃=2⃗𝑃𝐴𝐵𝑃2 所以𝑂𝐴=3，𝑂𝐵=3，
𝑂𝑀
2
𝑂𝑁
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又四边形OMPN为平行四边形，所以⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃=⃗𝑂𝑀𝑂𝑁𝑂𝐴+𝑂𝐵33
⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以𝑥=2，𝑦=1．………6分 又因为𝑂𝐴
3
3
21
⃗⃗⃗⃗⃗ )(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+⃗𝑂𝐵𝑂𝐴) （2）由(1)知⃗⃗⃗⃗⃗ 33
11
⃗⃗⃗⃗⃗ −2⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝⃗𝑂𝐵𝑂𝐴+𝑂𝐴 ·⃗𝑂𝐵333
22
19．（1）取BD的中点O连结OA，OA1，BD⊥OA， BD⊥OA1， 所以直线BD⊥平面A1AO， 所以BD⊥AA1．——————6分 （2）不妨设AB=1，由题意可知B-𝐴1𝐴𝐷为正四面体，AA1D1D所成的角即侧棱与底面所成的角， 过B作底面正△AA1D的中心O， 连接A1O，所以∠BA1O为A1𝐵与平
设𝐴1𝐵=1，则𝐴1𝑂=√，𝐵𝑂=√，
33
所以sin∠𝐵𝐴1𝑂=√． ———————12分 3
12
636＝3−
4723
+4×=−．……12分
23
162
O
A1B与平面
AA1D的垂线，垂足为
面AA1D1D所成的角．
5𝜋
20．（1）由图可知𝐴=2，𝑥=是图中的一条对称轴，
且12−6=4=4，∴𝜔=2，
∴𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜑)
𝜋2𝜋2𝜋
又2×6+𝜑=𝜋得𝜑=3，∴𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+3)． ——————6分
2𝜋
5𝜋
𝜋
𝜋
𝑇
（2）𝑔(𝑥)=2sin2𝑥，ℎ(𝑥)=2sin(2𝑥+
𝜋2
)+2sin2𝑥=2sin(2𝑥+3)， 3
7𝜋12
𝜋
+2𝑘𝜋≤2𝑥+≤
3
𝜋3𝜋2
+2𝑘𝜋⇒
𝜋
𝜋12
+𝑘𝜋≤𝑥≤
7𝜋
+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍．
所以ℎ(𝑥)的单调递减区间为[12+𝑘𝜋，12+𝑘𝜋](𝑘∈𝑍)——————12分
21．如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm，其中点A在面积为S1的部分内．
折痕有下列三种情形：
①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上； ②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上； ③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．
D N
C
D N
C
D M
C
N
A
（情形③）
由题意知，长方形的面积为S＝6×8＝48．
因为S1∶S2＝1∶2，S1≤S2，所以S1＝16，S2＝32． ——————2分 当折痕是情形①时，设AM＝xcm，AN＝ycm， 132则xy＝16，即y＝． 2x
由错误!得错误!≤x≤8．所以l＝错误!＝错误!，错误!≤x≤8．
322162
设f (x)＝x＋2，≤x≤8，
x3
所以f (x)的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，45]．—————5分 当折痕是情形②时，设AM＝xcm，DN＝ycm， 116则(x＋y)×6＝16，即y＝－x． 23由错误!得0≤x≤错误!．
M
（情形①）
B
A
M
（情形②）
B
A
B
所以l＝62＋(x－y)2＝错误!，0≤x≤错误!．
2145
所以l的范围为[6，]．——————8分
3
当折痕是情形③时，设BN＝xcm，AM＝ycm， 1
则(x＋y)×8＝16，即y＝4－x． 2
0≤x≤6，由得0≤x≤4． 0≤4－x≤6，
所以l＝82＋(x－y)2＝82＋4(x－2)2，0≤x≤4．
所以l的取值范围为[8，45]．————————11分
2145因为>8（即145>144），
3
2145
所以l的取值范围为[6，]．———12分
3
𝑥2−4 (𝑥≥2)
22．(1) a＝2，f (x)＝(x+2)| x－2 |={2
−𝑥+4 (𝑥<2)
f (x)在(−∞，0)单调递增，在(0，2)单调递减，在(2，+∞)单调递增， 所以f (2) （2）①当0＜a≤2时，𝑓(𝑥)={𝑥2−2𝑎𝑥+2𝑎 𝑎≤𝑥≤2 𝑥2−2𝑎 𝑥>2 f (x)在(−∞，0)单调递增，在(0，𝑎)单调递减，在(𝑎，2)单调递增，在(2，+∞)单调递增， 所以𝑓(𝑎)<2<𝑓(0) 即 2𝑎−𝑎2<2<2𝑎，所以1<𝑎≤2————————6分 −𝑥2+2𝑎 𝑥<2 ②当a＞2时，𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑎𝑥−2𝑎 2≤𝑥≤𝑎 𝑥2−2𝑎 𝑥>𝑎 f (x)在(−∞，0)单调递增，在(0，2)单调递减，在(2，𝑎)单调递增，在(𝑎，+∞)单调递增， 所以𝑓(2)<2<𝑓(0) 即2𝑎−4<2<2𝑎，所以2<𝑎<3， 由①②可知，1<𝑎<3。——————————8分 （3）由（2）可知， ①当1<𝑎≤2时，f (x)在(−∞，0)单调递增，在(0，𝑎)单调递减，在(𝑎，2)单调递增，在(2，+∞)单调递增， 因为𝑓(2)=4−2𝑎<2，所以𝑥1，𝑥2为方程−𝑥2+2𝑎=2的两个根，𝑥1＋𝑥2＝0 𝑥3为方程𝑥2−2𝑎=2的正根，所以𝑥3=√2(𝑎+1) 𝑥2𝑥3 =−√2(𝑎+1)≥−√6，所以＜−√6． 𝑥 1 ②当2<𝑎＜3时，f (x)在(−∞，0)单调递增，在(0，2)单调递减，在(2，𝑎)单调递增，在(𝑎，+∞) 单调递增，𝑓(𝑎)=𝑎2−2𝑎=(𝑎−1)2−1． i)当 𝑓(𝑎)≥2，即√3+1≤𝑎＜3时，𝑥3为方程−𝑥2+2𝑎𝑥−2𝑎=2的较小根， 3 𝑥3=𝑎−√𝑎2−2𝑎−2=(𝑎−1)−√(𝑎−1)2−3+1=+1 (𝑎−1)+√(𝑎−1)2−3𝑥2𝑥3 在𝑎∈[√3+1，3)单调递减，𝑥3∈(2，√3+1]，＜(𝑥)min=(−𝑥3)min=−√3−1． ii)当 𝑓(𝑎)<2，即2<𝑎＜√3+1时，𝑥3为方程𝑥2−2𝑎=2的正根， 𝑥2𝑥3 𝑥3=√2(𝑎+1)，𝑥=−√2(𝑎+1)≥−√3−1，所以＜−√3−1． 1 1 综上，＜−√3−1．————————12分 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容