2020-2021东北育才学校九年级数学下期末模拟试题附答案

一、选择题

1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）

A． B． C． D．

2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是230000000人一年的口粮,将230000000用科学记数法表示为( ) A．2.3×109 B．0.23×109 C．2.3×108 D．23×107 3．已知反比例函数 y＝

的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a

在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

4．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 人数 0 4 1 12 2 16 3 17 4 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．中位数是2 A．4

B．众数是17 B．3

C．平均数是2 C．2

D．方差是2 D．1

5．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（ ） 6．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．

B．C．D．

7．已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置

（ABC30），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若140，则2的度数为（ ）

A．10 为（ ）

B．20 C．30° D．40

8．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第9个图形中所有点的个数

A．61

B．72

C．73

D．86

9．如图，已知AB//CD//EF，那么下列结论正确的是（ ）

A．

ADBC DFCEB．

BCDF CEADC．

CDBC EFBED．

CDAD EFAF10．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C． D．

11．若xy0，则x2y化简后为（ ） A．xy 12．8×200=x+40 解得：x=120

答：商品进价为120元． 故选：B． 【点睛】

此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．

B．xy C．xy

D．xy

二、填空题

13．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC=_____________．

14．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．

15．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）

16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=

k的图象上，则k的值为________. x

3x2x417．不等式组x1的整数解是x= ．

1x1218．关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是_____. 19．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x，△MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．

20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块

三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是_____．

三、解答题

21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．

(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；

(2)小明选择哪家快递公司更省钱？

22．如图，在四边形ABCD中，ABPDC，ABAD，对角线AC，BD交于点O，

AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB5，BD2，求OE的长．

23．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．

（1）求证：BC是半圆O的切线；

（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．

24．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：

销售单价x（元） 日销售量y（个） 85 175 95 125 105 75 115 m 日销售利润w（元） 875 1875 1875 875 （注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值； （2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是 元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是 元；

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

25．如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l与y轴交于点A（0 , 2），与一次函数y＝x﹣3的图象l交于点E（m ,﹣5）．

（1）m=__________；

（2）直线l与x轴交于点B，直线l与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积； （3）如图2，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l或l有交点，直接写出a的取值范围_____________________________

26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G． (1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长； (3)若BE＝8，sinB＝

5，求DG的长， 13

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选B．

2．C

解析：C

【解析】230000000= 2.3×10 ,故选C.

8

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解． 【详解】

∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误； ∵反比例函数y=

的图象在第一、三象限，

∴ab＞0，即a、b同号，

当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误； 当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误； C正确． 故选C． 【点睛】

本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．

4．A

解析：A 【解析】

试题解析：察表格，可知这组样本数据的平均数为： （0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=

；

∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是3；

∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2， ∴这组数据的中位数为2， 故选A．

考点：1.方差；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．

5．A

解析：A 【解析】

分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 详解：根据题意，得：解得：x=3，

则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6， 所以这组数据的方差为故选A．

点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．

67x95=2x

51 [（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4， 56．A

解析：A 【解析】

试题解析：∵x+1≥2， ∴x≥1． 故选A．

考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据平行线的性质判断即可得出结论.

【详解】

解：Q直线m//n，

2ABC1BAC180，

QABC30，BAC90，140， 218030904020， 故选：B． 【点睛】

本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

设第n个图形中有an个点（n为正整数），观察图形，根据各图形中点的个数的变化可得出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝9即可求出结论． 【详解】

设第n个图形中有an个点（n为正整数），

2+1+2，a2＝10＝2×2+1+2+3，a3＝16＝3×2+1+2+3+4，…， 观察图形，可知：a1＝5＝1×

∴an＝2n+1+2+3+…+（n+1）＝n2+n+1（n为正整数）， 92+×9+1＝73． ∴a9＝×故选C． 【点睛】

本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中点的个数的变化找出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．

9．A

解析：A 【解析】 【分析】

已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】 ∵AB∥CD∥EF，

ADBC． DFCE故选A． 【点睛】

∴

本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．

10．B

解析：B 【解析】

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形； B．是轴对称图形，也是中心对称图形； C．是轴对称图形，不是中心对称图形； D．是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选B．

点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

二次根式有意义，隐含条件y>0，又xy<0，可知x<0，根据二次根式的性质化简． 解答 【详解】

x2y有意义，则y>0，

∵xy<0， ∴x<0， ∴原式=xy. 故选A 【点睛】

此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握其定义

12．无

二、填空题

13．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函

1解析：

3【解析】

分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB、AC，连接它们延长线所经过的格点，

可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案. 详解：如图所示，

由图形可知，AFE90，AF3AC，EFAC， ∴tan∠BAC=故答案为

EFAC1. AF3AC31. 3点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.

14．【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵AE垂直平分OB∴AB=AO∴OA=AB=OB=3∴BD=2OB=6∴AD=【点睛】此题考查了矩形的性质等边三角

解析：3【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB=AO， ∴OA=AB=OB=3， ∴BD=2OB=6，

∴AD=BD2AB2623233．

【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

3

15．∠ADE=∠ACB（答案不唯一）【解析】【分析】【详解】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

解析：∠ADE=∠ACB（答案不唯一） 【解析】 【分析】 【详解】

相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.由此可得出可添加的条件： 由题意得，∠A=∠A（公共角），

则添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB； 添加：

ADAE，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB. ACAB16．-6【解析】因为四边形OABC是菱形所以对角线互相垂直平分则点A和点C关于y轴对称点C在反比例函数上设点C的坐标为(x)则点A的坐标为(－x)点B的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等

解析：-6 【解析】

因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,AC=－2x,OB=

kk2k),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此xxx2K,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得: X12kS菱形OABC2x12,解得k6.

2x17．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【

解析：﹣4． 【解析】 【分析】

先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可． 【详解】

3x2x4①, 解：x11x1②2∵解不等式①得：x≤﹣4， 解不等式②得：x＞﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4， ∴不等式组的整数解为x=﹣4， 故答案为﹣4． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组

的解集是解此题的关键．

18．－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根则根的判别式△=b2-4ac≥0建立关于a的不等式求出a的取值范围还要注意二次项系数不为0【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根

解析：－2 【解析】 【分析】

若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】

∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根， 3≥0，且a+1≠0， ∴△=4-4（a+1）×解得a≤-

2，且a≠-1， 3则a的最大整数值是-2． 故答案为：-2． 【点睛】

本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．

19．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R到达Px=9时点R到Q点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达

解析：20 【解析】 【分析】

根据图象横坐标的变化，问题可解． 【详解】

由图象可知，x=4时，点R到达P，x=9时，点R到Q点，则PN=4，QP=5 ∴矩形MNPQ的面积是20． 【点睛】

本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时， 要注意数形结合．

20．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM

解析：5 【解析】 【分析】

连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=

1AC=5，再根据∠2A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案． 【详解】

解：如图，连接CC1，

∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M， ∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1， ∴CM=A1M=C1M=

1AC=5， 2∴∠A1=∠A1CM=30°， ∴∠CMC1=60°， ∴△CMC1为等边三角形， ∴CC1=CM=5， ∴CC1长为5． 故答案为5．

考点：等边三角形的判定与性质．

三、解答题

21．答案见解析 【解析】

试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；

（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论． 试题解析：（1）由题意知：

当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3；

22x? (0x1)∴y甲{，y乙=16x3；

15x7?(x1)（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：

1； 21； 21＜x≤1． 2②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4； 令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4； 令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x＜4． 综上可知：当

11＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公221或x＞4时，选甲快递公司省钱． 2考点：一次函数的应用；分段函数；方案型．

司快递费一样多；当0＜x＜22．（1）证明见解析；（2）2. 【解析】

分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可. （2）根据菱形的性质和勾股定理求出OA线等于斜边的一半即可求解. 详解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴CABACD ∵AC平分BAD ∴CABCAD， ∴CADACD ∴ADCD 又∵ADAB ∴ABCD 又∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ABAD ∴YABCD是菱形

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O． ∴ACBD．OAOC∴OBAB2OB22．根据直角三角形斜边的中

11AC，OBODBD， 221BD1． 2在RtVAOB中，AOB90． ∴OAAB2OB22．

∵CEAB， ∴AEC90．

在RtVAEC中，AEC90．O为AC中点． ∴OE1ACOA2． 2点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

23．（1）见解析；（2）AD=4.5. 【解析】 【分析】

（1）若证明BC是半圆O的切线，利用切线的判定定理：即证明AB⊥BC即可； （2）因为OC∥AD，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他条件可判定△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD的长． 【详解】

（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴BD⊥AD， ∴∠DBA+∠A=90°， ∵∠DBC=∠A，

∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC， ∴BC是半圆O的切线； （2）解：∵OC∥AD， ∴∠BEC=∠D=90°， ∵BD⊥AD，BD=6， ∴BE=DE=3， ∵∠DBC=∠A， ∴△BCE∽△BAD，

CEBE43，即； BDAD6AD∴AD=4.5 【点睛】 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质． 24．（1）25；（2）80，100，2000；（3）该产品的成本单价应不超过65元． 【解析】

分析：（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 详解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，

17585kb＝k＝5，得， 95kb＝125b＝600即y关于x的函数解析式是y=-5x+600， 当x=115时，y=-5×115+600=25， 即m的值是25； （2）设成本为a元/个，

当x=85时，875=175×（85-a），得a=80，

w=（-5x+600）（x-80）=-5x2+1000x-48000=-5（x-100）2+2000， ∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000， （3）设科技创新后成本为b元， 当x=90时，

（-5×90+600）（90-b）≥3750， 解得，b≤65，

答：该产品的成本单价应不超过65元．

点睛：本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答． 25．（1）-2；（2）【解析】 【分析】

（1）根据点E在一次函数图象上，可求出m的值；

（2）利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式，得出点B、C的坐标，利用S四边形

OBEC＝S△OBE＋S△OCE即可得解；

；（3）≤a≤或3≤a≤6.

（3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点N在l1上、点Q在l2上、点N在l2上时a的值，即可得解． 【详解】

解：（1）∵点E（m，−5）在一次函数y＝x−3图象上， ∴m−3＝−5， ∴m＝−2；

（2）设直线l1的表达式为y＝kx＋b（k≠0）， ∵直线l1过点A（0，2）和E（−2，−5）， ∴

，解得

，

∴直线l1的表达式为y＝x＋2， 当y＝x＋2=0时，x=∴B点坐标为(

，0)，C点坐标为（0，−3），

5＋×2×3＝∴S四边形OBEC＝S△OBE＋S△OCE＝××

（3）当矩形MNPQ的顶点Q在l1上时，a的值为

； ；

，即点N（

，1），

矩形MNPQ向右平移，当点N在l1上时，x＋2＝1，解得x＝∴a的值为

＋2＝

；

矩形MNPQ继续向右平移，当点Q在l2上时，a的值为3，

矩形MNPQ继续向右平移，当点N在l2上时，x−3＝1，解得x＝4，即点N（4，1）， ∴a的值为4＋2＝6， 综上所述，当【点睛】

本题主要考查求一次函数解析式，两条直线相交、图形的平移等知识的综合应用，在解决第（3）小题时，只要求出各临界点时a的值，就可以得到a的取值范围． 26．(1)证明见解析；(2)AD=xy；(3)DG=【解析】 【分析】

（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证； （2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出DG的长即可． 【详解】

(1)如图，连接OD， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴BC为圆O的切线；

(2)连接DF，由(1)知BC为圆O的切线，

≤a≤

或3≤a≤6时，矩形MNPQ与直线l1或l2有交点．

3013． 23∴∠FDC=∠DAF， ∴∠CDA=∠CFD， ∴∠AFD=∠ADB， ∵∠BAD=∠DAF， ∴△ABD∽△ADF， ∴ABAD，即AD2=AB•AF=xy， ADAF则AD=xy ；

(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=设圆的半径为r，可得解得：r=5， ∴AE=10，AB=18， ∵AE是直径， ∴∠AFE=∠C=90°， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B， ∴sin∠AEF=

OD5， OB13r5， r813AF5， AE13550=， 1313∴AF=AE•sin∠AEF=10×∵AF∥OD，

5013AF1310，即DG=AD， ∴AG23DGOD513∴AD=AB·AF18503013， 1313则DG=

133033013． 231323

【点睛】

圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函

数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．