带解释变量的ARCH(q)模型的Wald检验

杨凯;于鑫洋;魏兵;费佳欣

【摘 要】基于Wald检验方法,考虑了一类带有解释变量的ARCH(q)模型的解释变量是否存在的检验问题,给出了Wald检验统计量及统计量的渐近分布,通过数值模拟研究了检验的功效,并将检验方法应用于我国股市的实证分析中. 【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2018(039)002 【总页数】3页(P66-68)

【关键词】ARCH模型;解释变量;Wald检验;非线性时间序列 【作 者】杨凯;于鑫洋;魏兵;费佳欣

【作者单位】长春工业大学数学与统计学院,吉林长春130012;长春工业大学数学与统计学院,吉林长春130012;长春工业大学数学与统计学院,吉林长春130012;长春工业大学数学与统计学院,吉林长春130012 【正文语种】中 文 【中图分类】O212

ARCH(autoregressive conditional heteroskedasticity)模型[1]作为一个重要的非线性时间序列模型，于1982年由Engle提出.其扩展形式GARCH(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity)模型[2]于1986年由Bollerslev提出.近年来，ARCH类模型的各种扩展形式不断涌现[3-4]，对各类ARCH模型的

检验也因此成为学者们关注的热点.王德辉等[5]考虑了序约束下ARCH(0，2)模型的参数估计和检验；余素红和张世英[6]研究了GARCH模型的似然比检验；韩四儿和田铮[7]考虑了ARCH模型的变点检验；熊强和李元[8]考虑了ARCH-M模型的ARCH效应检验问题.本文考虑一类带有解释变量的ARCH(q)模型的解释变量是否存在的检验问题，并基于该方法对我国股市是否存在“星期一效应”[9-10]进行检验. 1 主要结果

考虑如下带有解释变量的ARCH(q)模型： (1)

其中：yt是标准化的股票收益率；是时变的方差；Zt表示解释变量；记θ=(α0，α1，…，αq，γ)T为模型的参数向量；Θ={θ：α0>0，αj≥0，j=1，…，q，γ≥0}为参数空间.文献[9]在q=1时研究了模型(1)周内效应的检验.本文考虑如下检验问题：

H0：γ=0↔H1：γ≠0. (2)

在检验问题(2)中，原假设H0：γ=0表示不含解释变量的ARCH模型，备择假设H1：γ≠0表示含有解释变量，反映了股市波动受到外部因素(解释变量)的影响. 设{y1，…，yn}是来自模型(1)的一组样本，根据文献[1]中的介绍，可以写出模型(1)参数θ的(对数)似然函数如下： (3)

通过对上述似然函数(3)进行优化，可得参数θ的条件最大似然(conditional maximum likelihood，CML)估计，即为了研究的渐近正态性，先给出模型(1)的

一个平稳条件[1]：

(C1)模型(1)的相关特征方程(associated characteristic equation)的根都大于1. 定理1 假设条件(C1)成立，则渐近服从正态分布，即 (4)

其中θ0是参数θ的真值，I(θ)是Fisher信息矩阵. 证明 直接验证文献[11]中的正则条件可知(4)成立.

基于Wald检验研究检验问题(2).设C=(0，0，…，0，1)1×(q+2)，则检验问题(2)的Wald检验统计量为 (5)

定理2 假设条件(C1)成立，检验问题(2)Wald检验统计量Wn可由(5)式给出.此外，当n→+∞时，

证明 根据定理1及遍历定理，可知进一步，根据连续映射定理，有从而，根据的定义知，结论成立.

根据定理2，我们可以对检验问题(2)进行检验. 2 数值模拟

为了说明Wald检验的效果，进行如下数值模拟：考虑带有解释变量的ARCH(q)模型.假设初值y0=y-1=0.模拟在R软件下进行，结果基于1 000次重复计算所得.先考虑原假设H0成立时Wald检验的水平，取显著性水平α=0.05和0.10.基于以下两个模型生成数据：

模型A (α0，α1，α2，γ)=(0.8，0.3，0.1，0)，Zt～Exp(1)；

模型B (α0，α1，α2，γ)=(1，0.6，0.2，0)，Zt=I{t：t mod 5=1}，其中I{·}为示性函数，{t：t mod 5=1}表示t除以5余数为1的点的集合.

图1 模型A和模型B犯第一类错误曲线图Fig.1 The probability of type I errors of models A and B

我们通过数值模拟绘制了不同样本量下，模型A和模型B犯第一类错误的曲线，见图1.通过图1可以看出：当H0成立时，犯第一类错误的概率渐近趋向于显著性水平.这说明定理2中的极限分布是正确的.

下面考虑备择假设H1成立时检验的功效，取显著性水平α=0.05和0.10.基于以下两个模型生成数据.模拟结果见表1.

模型C (α0，α1，α2，γ)=(0.8，0.3，0.1，1)，Zt～Exp(1)； 模型D (α0，α1，α2，γ)=(1，0.6，0.2，2)，Zt=I{t：t mod 5=1}.

从表1可以看出，随着样本量的增大，检验的功效趋向于1，这表明Wald检验的功效很大.

表1 不同样本量下Wald检验的功效Table 1 The power of the Wald test under different sample sizesα模型Cn=100n=300n=500模型

Dn=100n=300n=5000.050.4450.9640.9980.1050.7190.9490.100.5850.9760.9990.2160.8500.982 3 实证应用

我们选取上证指数收盘点位数据.从2016年1月4日至2016年12月30日，共得到245个观测记录，记作P1，…，P245.用Zt=1表示交易日为星期一，Zt=0表示其他交易日.对该数据进行标准化变换，得到如下观测序列yt：

用模型(1)对上述数据进行拟合，基于AIC准则对模型(1)的阶数进行选择，拟合结果见表2.

表2 上证指数数据的拟合结果Table 2 Fitting result for the Shanghai composite indexqα0α1α2α3γAIC值p值11.2380.506——

1.6608711.667×10-620.9370.4040.196—1.7058561.070×10-830.5280.0000.1980.3541.5207860.000

从表2中可以看出：q=3时的AIC值最小，据此判断用q=3的模型(1)拟合上证指数数据较为合适.从三个模型Wald检验的p值均可以做出拒绝原假设的判断，即认为我国股市具有明显的“星期一效应”. 参 考 文 献

【相关文献】

[1]ENGLE R F.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation[J].Econometrica，1982，50(4)：987-1007.

[2]BOLLERSLEV T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].J Econom，1986，31(3)：307-327.

[3]潘保国.一类非对称的GARCH模型的参数估计[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2009，30(4)：12-17，47.

[4]张世英，樊智.协整理论与波动模型金融时间序列分析及应用[M].第2版.北京：清华大学出版社，2009.

[5]王德辉，宋立新，史宁忠.序约束下ARCH(0，2)模型的参数估计与检验[J].应用概率统计，2002，18(3)：244-254.

[6]余素红，张世英.SV和GARCH模型拟合优度比较的似然比检验[J].系统工程学报，2004，19(6)：625-629.

[7]韩四儿，田铮.ARCH模型的多变点检验[J].数学的实践与认识，2007，37(5)：38-44. [8]熊强，李元.变系数ARCH-M模型的ARCH效应检验[J].数理统计与管理，2016，35(3)：456-461.

[9]石柱鲜，吴泰岳.中国股票市场“周内效应”的再研究[J].数理统计与管理，2005，24(3)：93-99.

[10]李学，欧阳俊，秦宛顺.中国股市的星期效应研究[J].统计研究，2001，18(8)：38-41. [11]CROWDER MJ.Maximum likelihood estimation for dependent observations[J].J R Stat Soc B，1976，38(1)：45-53.