【高中数学】函数的奇偶性专题复习(绝对原创!)

【函数的奇偶性】专题复习

一、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数f(x)的定义域内任意一个x：

⑴f(x)f(x) f(x)是偶函数； ⑵f(x)f(x)f(x)奇函数；

函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； ③可逆性：f(x)f(x)f(x)是偶函数； f(x)f(x)f(x)是奇函数； ④等价性：f(x)f(x)f(x)f(x)0； f(x)f(x)f(x)f(x)0

⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶

函数。

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查f(x)是否与f(x)、f(x) 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；

②数量关系f(x)f(x)哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

x3x2（1）f(x)x2x （2）f(x)2x3x （3）f(x)

x1342

1x2（4）f(x)x x1,2 （5）f(x)x22x （6）f(x)；

|x2|22

（7）f(x)

2x211x2 （8）f(x)lgxlg11x； （9） f(x)(1x)2x1xword格式-可编辑-感谢下载支持

x2(x0)例2：判断函数f(x)2的奇偶性。

(x0)x解:f(0)02f(x) 当x0,即x0时,有f(x)(x)2x2f(x)

当x0,即x0时,有f(x)(x)2(x)2f(x)

总有f(x)f(x),故f(x)为奇函数.

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则

（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：

两个奇函数的代数和是奇函数；

两个偶函数的和是偶函数；

奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；

奇函数与偶函数的积是奇函数。

xx3x5x7x2k1(kZ)...1k常见的奇函数：(k0);x(耐克函数)xxsinx;tanxx2x4x6x8x2k(kZ)... 2常见的偶函数：axc(b0);x;f(x)cosx;yC(C为常数)xa;logax;kxb(k0,b0)常见的非奇非偶函数:yxa(a0)y0(定义域关于原点对称)常见的既奇又偶函数：22y1xx1(x1)两个点的函数四、关于函数的奇偶性的6个结论。

结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。 结论3 f(x)是任意函数，定义域关于原点对称，那么f(x)是偶函数。 结论4 函数f(x)f(x)是偶函数，函数f(x)f(x)是奇函数。 结论5 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)0。 结论6 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)0有实根， 那么方程f(x)0的所有实根之和为零；

若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)0有奇数个实根。

五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数

也是偶函数、④非奇非偶函数。

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六、关于奇偶函数的图像特征

例1：偶函数yf(x)在y轴右则时的图像如图（一），则y轴右侧的函数图像如图（二）。

Y Y 1 1 1 2 0 X -2 -1 1 2 X

七、关于函数奇偶性的简单应用 1、利用奇偶性求函数值

例1：（1）已知f(x)xaxbx8且f(2)10，求f(2)的值

（2）已知f(x)5x53x3x1(x[,])的最大值M,最小值为m,求Mm的值

2、利用奇偶性比较大小

例2：（1）已知偶函数f(x)在,0上为减函数，比较f(5)，f(1)，f(3)的大小。

（2）已知函数yfx是R上的偶函数，且fx在0,上是减函数， 若faf2，求a的取值范围.

（3）定义域为R的函数fx在8,上为减函数，且函数yfx8为偶函数，则 A. f6f7 B. f6f9 C. f7f9 D. f7f10

3.利用奇偶性求解析式

例3：（1）已知f(x)为偶函数，当0x1时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)解析式？

53图（一）

图（二）

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（2）已知f(x)为奇函数，当x0时,f(x)x2x，当x0时，求f(x)解析式？

4、利用奇偶性讨论函数的单调性

例4：若f(x)(k2)x(k3)x3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间？

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性

例5：已知f(x)axbxcx(a0)是偶函数，判断g(x)axbxcx的奇偶性。

6、利用奇偶性求参数的值

例6：（1）定义R上的偶函数f(x)在(,0)单调递减，若f(2a2a1)f(3a22a1)恒成立，求a的范围.

（2）定义R上单调递减的奇函数f(x)满足对任意tR，若f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的范围.

（4）已知fx在定义域0,上为增函数，且满足fxyfxfy,f31，求不等式

22223232fxfx82解.

7、利用图像解题

例7：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式fx0的解是 .

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（2）若函数f(x)在(,0)(0,)上为奇函数，且在(0,)上单调递增,f(2)0,则不等式

xf(x)0的解集为______.

8.利用定义解题

1为奇函数，则a________。 2x1x21 已知f(x)为偶函数，则a ________。

(3x2)(xa)例8：已知f(x)a

9.利用性质选图像

例9：（1）设a1，实数x,y满足|x|loga y 1 x y 10，则y关于x的函数的图像形状大致是 yy y 1 0 0 0 1 0 x x x A B C D

1

exex （2）函数yxx的图象大致为

ee （A）

（B） （C） （D）

【奇偶性专题】训练

1、判断下列函数的奇偶性

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（1）y

1(x0)； （2）yx41； x （3）y2； ylog2x （4）；ylog2(x

xx21)

x(1x)2xf(x)ln(1e)x （5）； （6）；f(x)x(1x)

(x0)(x0)

【变题】已知f(x)对一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性如何？ 2、（1）如果定义在区间[3a,5]上的函数f(x)为奇函数，则a=_____ （2）若f(x)22xxlga为奇函数，则实数a_____

（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)， 那么当x(,0)时，f(x)=_______

（4）已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x2x， 则x0时，f(x)的解析式为_______________ （5）定义在(1,1)上的奇函数f(x)22xm，则常数m____,n_____

x2nx1 （6）函数yaxbxc是偶函数的充要条件是___________ （7）已知f(x)axbxcxdx5，其中a,b,c,d为常数， 若f(7)7，则f(7)_______

3、若f(x)(xR)是奇函数，则下列各点中，在曲线yf(x)上的点是

A. (a,f(a)) B. (sin,f(sin)) C. (lga,f(lg)) D. (a,f(a))

7531a4、设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x， 则f(47.5)等于

A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.5 4、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于

A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对 6、函数F(x)(12)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) 2x1 A. 是奇函数 B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数 7、下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是

A. f(x)sinx B. f(x)x1

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1x2xx D. f(x)lnaa2x21x8、已知函数f(x)lg.若f(a)b.则f(a)

1x11 A．b B．－b C． D．－

bb9、设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，

3 如果f(1)lg，f(2)lg15，求f(2001)

2 C. f(x)

10、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，又当1x1时，f(x)x， （1）证明：直线x1是函数f(x)图象的一条对称轴： （2）当x[1,5]时，求f(x)的解析式。

【变题】

设f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称，求证：f(x)是周期函数。

11、已知f(x)x(311)， x212 （1）判断f(x)的奇偶性； （2）证明：f(x)0

，1]上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若f(aa1)f(4a5)0， 12、定义在[1 求实数a的范围。

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13、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意x11,x2[0,2]， 都有f(x1x2)f(x1)f(x2). （1）设f(1)2，求f(1),f(124)； （2）证明f(x)是周期函数。

答案：

基本训练 ：1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数 2、b0 3、17 4、B 5例题：1(1)8 (2)10 (3) x(13x) (4)B

2(1)奇函数 (2)既是奇函数也是偶函数 (3)非奇非偶函数 3、1

、A word格式-可编辑-感谢下载支持

3(2x),x[1,3]4(1)证f(1x)f(1x) (2)f(x) 变题：T＝4 3(x4),x3,5作业： 1—8、DAABD BDC 9、f(x)x22x(x0) 10、0；0 11(1)偶函数 (2)

333114奇函数 12(1)偶函数 13、1, 14(1)f()2,f()2 (2)T=2 224