案例13：多目标电力系统环境经济调度问题

牛奔，王红

摘要：随着我国经济的飞速发展，电力工业成为支持我国经济发展的基础工业。随着电力工业的快速发展，废气、废水的排放等环境污染问题引起各界的广泛关注。近年来，许多国家限制了火电厂对有害气体的排放量，因此，同时考虑经济因素和污染排放量的多目标电力系统环境经济调度问题，就成为了电力工业十分关注的优化问题。本案例深入展示了电力系统环境经济调度的多目标问题，适用于运筹学中多目标规划、非线性规划、启发式算法等模块的教学。

关键词：电力系统环境经济调度问题；多目标规划；非线性规划；启发式算法

1多目标电力系统环境经济调度问题的提出

电力工业是能源工业的重要组成部分，是推动人类文明及支撑社会经济发展的重要基础。近年来，随着中国经济的持续快速发展，对电力的需求十分强劲。为了有效缓解电力供需矛盾，国家加快了电力建设步伐。电力项目建设不仅有力地缓解了各地电力供应紧张的局面，而且对电力工业结构调整与合理布局发挥了重要作用。

我国的主要发电方式为火力发电，这种方式以煤炭消耗为主。但是，发电用煤的平均灰份高达28%左右，基本上是没有经过洗选的动力煤，外加污染控制和治理技术落后，致使火力发电行业成为二氧化硫、氮氧化物、烟尘等大气污染物的主要排放源，同时也是废水、粉煤灰和炉渣等固体废弃物的主要排放源。

近年来，电力行业的环境污染问题受到广泛关注，许多国家制定了限制火电厂有害气体排放的法规。火力发电行业控制污染气体、液体、固体排放量的压力日趋上升。因此，在保证可靠供电的前提下，如何以最低的成本和最少的污染使电力系统正常运行，即电力系统环境经济调度优化，这个多目标优化问题成为电力行业至关重要的优化问题。

2 IEEE-30总线测试系统

IEEE-30总线的电力系统有6个发电机，41条线，其单线结构如图1所示。这是一个标准的测试系统，调度的目的是使得经济成本最低，同时环境污染最小，因此这是一个多目标优化问题。发电机的燃料消耗成本、固定损耗率及氮氧化物排放量相关数据如表1和表2所示。表3和表4是系统相关的详细数据。

图1. IEEE-30节点电力系统的单线图 表1. 发电机动力及能量损耗率 发电机编号 $ FPGPG($/h) 1 2 3 4 5 6 发电机编号 a 1 2 3 4 5 6 总线 4.091 2.543 4.258 5.326 4.258 6.131×10-2 类型 100 120 40 60 40 100  200 150 180 100 180 150  10 10 20 10 20 10 PG（p.u） 0.50 0.60 1.00 1.20 1.00 0.60 损耗率i 0.02 0.03 0.05 0.06 0.05 0.03 表2. 发电机氮氧化合物排放量

2 FabPGcPGdexp(ePG)b -5.554 -6.047 -5.094 -3.550 -5.094 -5.555×10-2 c 6.490 5.638 4.586 3.380 4.586 5.151×10-2 d 2.0×10-6 5.0×10-4 1.0×10-6 2.0×10-3 1.0×10-6 1.0×10-5 无功功率 e 2.857 3.333 8.000 2.000 8.000 6.667 总线电压 表3. 总线详细数据 有功功率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 线编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $ PlP-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-Q P-V P-V P-V P-V P-V S -0.106 -0.024 0.0 0.0 -0.035 0.0 -0.087 -0.032 0.0 -0.175 -0.022 -0.095 -0.032 -0.090 -0.035 -0.082 -0.062 -0.112 -0.058 0.0 -0.228 0.0 -0.076 -0.024 0.0 0.0 -0.300 -0.942 0.217 0.0 表4. 线流量 $ P线编号 l15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 0.70 0.50 0.70 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.20 0.20 -0.019 -0.009 0.0 0.0 -0.023 0.0 -0.067 -0.016 0.0 -0.112 -0.007 -0.034 -0.009 -0.058 -0.018 -0.025 -0.016 -0.075 -0.020 0.0 -0.109 0.0 -0.016 -0.012 0.0 0.0 - - - 0.0 线编号 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1.071 1.082 1.010 1.010 1.045 1.060 $ Pl0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.10 0.15 0.15 0.50 0.50 0.50 0.20 0.20 0.20 0.50 0.50 0.50 0.15 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 13 14 0.30 0.50 27 28 0.20 0.20 41 0.50 [p.u.] $注：线流量（P）是标准值的110%。 l3多目标电力系统环境经济调度问题的数学模型

多目标环境经济调度问题即为解一个带有多个等式约束和不等式约束的多个非线性目标函数的最小值，且这些目标函数之间有着相互制约的关系（燃料费用和污染排放）。 目标函数

在考虑环境经济调度的情况下，多目标经济调度可以采用以下两个目标函数： （1）电力系统发电燃料总耗量或发电燃料总费用，可以用发电机有功出力的二阶多项式表示：

2FGi1aibiPGiciPGi($/h) （1）

N其中，FG为发电燃料总费用，PGi为系统内第i台发电机的有功出力，N为系统内发电机组的数目；ai,bi和ci分别表示第i台发电机组耗量特性的常数项、一次项系数和二次项系数。

（2）最小化污染排放量。考虑到环境污染对生态平衡的影响（如酸雨及臭氧层的破坏），一

些法律规定各电厂必须控制氮氧化物和硫氧化物的排放量，以减小空气污染。另外，有些法规对热辐射也有限制，为了不失一般性，下面仅给出考虑氮氧化物排放限制的情况。氮氧化物的排放量分别表示为：

ENOxG2i1[102(aibiPGiciPGi)xieliPGi](ton/MWh) （2）

NESO2Gi1[10(aibiPGiciP)xie2,,,2GiN,li,PGi](ton/MWh) （3）

其中，ai,bi,ci,xi,li是表示发电机组i的NOx或SO2费用系数。 约束条件

（1）功率平衡约束：这是一个等式约束，系统发电机总出力必须满足系统总负荷与传输线路网损之和：

Pi1NGiPDPLOSS0 （4）

其中，PGi为发电机i的出力；网络损耗可表示为：

pD为系统总负荷；Ploss为系统网损。

PlossPGiBijPGji1j1NN （5）

其中，Bij为网络损耗系数。

（2）机组发电容量约束：这是一个不等式约束，发电机输出功率必须维持在系统稳定运行要求的范围之内：

PiminPiPimax （6）

本案例所研究的电力经济调度问题的目标函数及约束条件，可描述为一个带有等式与不等式约束的非线性多目标优化问题，其数学表述如下：

minFG,EG （7）

hx0s.t. （8）

gx0上式中，g与h分别为上节提及的不等式与等式约束。 最优折衷解

多目标问题的解不是唯一的，而是一组Pareto解集，其中的每个解都是满足条件的。然

而，在实际运行中，调度人员必须从该解集中做出最优选择，最终选择的解便称之为“最优折衷解”。这里，我们引用了模糊隶属度函数来表示每个Pareto解中各个目标函数对应的满意度，定义模糊隶属度函数如下：

1, fifiminmaxfifiufimax,minmaxminfff (9) iiififimax0, ffii其中当ufi0时表示对某个目标函数值完全不满意，而当ufi1时则表示对某个

目标函数值完全满意。对于Pareto集中的每个解，应用下式求解其标准化满意度值：

NobjMkkk/, （10） iii1k1i1其中M为Pareto集中解的个数，Nobj为待优化目标函数的个数。最优折衷解即为具有最

Nobjk大标准化满意度值的解。

4基于多目标菌群算法的环境经济调度问题求解

多目标菌群算法

细菌有一个特别的感知、行动和决策的机制，每个细菌在移动的过程中，当它发现有利环境时，会释放一种引诱剂，以便于其它的细菌能朝它移动的方向移动。当它发现不利环境时，会释放一种忌避剂，以提醒其它细菌远离。一般来说，多目标优化算法的目标值通过反映个体健康状况的适应生存机制获得。考虑函数J(J1,J2,...Jn)(f1,f2,...,fn)，多目标菌群优化模拟这种个体间相互吸引和排斥的社会行为，这种吸引排斥的行为用下式表示： Jcc(,P(j,k,l))SPJi1Sicc(,i(j,k,l))SP（11）

i2m[dattractexp(wattract(m))][hrepelentexp(wrepelent(m))]

iimi1m1i1m1其中，Jcc(,(p(j,k,l))是成本函数值，把它加在实际成本函数中，对其进行最小化处理，S是细菌的总数，p代表在每个细菌中需要优化的参数数量，它表示随时间变化的成本函数。

dattract, wattract, hrepelent, wrepelent 是可供选择的不同的系数。

（1）健康排序方法

对于有两个目标的MBFO，需要计算每一个目标函数的值t(1, 2): Jt(i,j1,k,l)，再令

Jt(i,j1,k,l)Jt(i,j1,k,l)Jcc(i(j1,k,l),P(j1,k,l))

(12)

对于给定的k和l, 每一个细菌个体i（i=1,…,S）的健康值是其趋药过程中所有目标函数值

的总和：

NcJthealthJt(i,j,k,l)

ij1(13)

Jihealth 用来计算第i个细菌在它的生命周期内获得营养和躲避有害物的成本。Jihealth值越

高，表示第i个细菌的健康值越低。按照Jihealth的值从小到大排序，Jihealth值最高的细菌死亡的可能性最大，而Jihealth值最小的细菌将会进行繁殖。 （2）Pareto占优机制

假设第i个细菌的健康排序位于S个细菌的前50%（具有较低的健康成本Jihealth）。按照Jihealth值大小顺序，如果第j个细菌受第i个细菌的支配，那么第j个细菌将会消亡。为了保持细菌个体（解）的多样性，因这种机制而死亡的细菌的数量不能超过群体数量的10%。为了保持群体的规模不变，选择较好的细菌进行繁殖，这些繁殖出的新个体跟它们的父代具有相同的属性（它们所在位置跟父代的位置一致）。在计算、排序、分离和繁殖的整个过程中，产生一个具有更好解的菌落。

细菌在生命周期内可以直行、翻转或是两者交替进行。细菌在某个方向C(i)上翻转的步长及其在该方向基础上调整的角度(i)共同决定了细菌的位置。在这里调整函数用于提高多目标搜寻的效率。对于一个多目标最优化问题来说，边界控制非常重要。如果个体离开了可行域，为了使这些个体仍然有效，有两种基于经验的策略可以执行：其一，产生新的个体代替移出可行域的个体；其二，把移出可行域的个体放置在边界上，并且改变它的前进方向。考虑到要保持个体的多样性，并且需要在整个区域内搜寻最优解，在进入下一个优化周期时，以某一概率给出一个非可行解的边界，以代替之前的非可行解边界。

下面我们简要概括多目标细菌觅食优化算法的步骤： 各个参数所代表的意义如下

p:

搜寻空间的维度； 细菌数量； 趋药过程的步数； 直行的步数； 繁殖的次数； 迁徙过程的步数； 消亡的概率；

每次直行或翻转的行程长度。

S:

NcNs: : : :

NreNedPed:

C(i):

1：初始化参数

ip,s,Nc,Ns,Nre,Ned,P,C(i)(i1,2,…,S),。 ed2：迁徙循环：ll1。 3：繁殖循环：kk1。 4：趋药过程循环：jj1

a：当il1,2,...,S时，按照下面的步骤对细菌i执行趋药行为。 b：计算两个适应值函数J1(i,j,k,l),J2(i,j,k,l)。

c：保留函数值

Jlast1J1(i,j,k,l),

Jlast2J2(i,j,k,l)。

n(i)(i)R d：翻转：产生一个随机向量，其中的每个元素m, m1,2,...,S, 是

1,1之间的一个随机数。

e：移动：按照式（3）更新位置。

f：按照式（4）和（5）来计算第i个细菌的适应值函数 g：直行：

(i) 令m0（记录直行的长度）。

(ii) 当

Jt(i,j1,k,l)t1,2()值。

mNs（即细菌还没有直行太长）时

令mm1。

如果

J1(i,j1,k,l)Jlast1J2(i,j1,k,l)Jlast2，令

Jlast1J1(i,j1,k,l)。

如果，令

Jlast2J2(i,j1,k,l)。

i 用式子(3)计算同一个方向下一步的步长，并且用新一代的(i,j1,k,l)值计算

否则令

JlastiJi(i,j1,k,l),(i1,2).

mNs。

h：处理下一个细菌(i1)，如果iS返回步骤b处理下一个细菌。

5：如果

jNc，跳到步骤3。 这种情况下，细菌的生命仍然没有结束，继续进行趋药过程。

6：繁殖：

a：对于给定的k和l, 设

Jhealth为第i（i1,2,...,S）个细菌的健康成本。并按照

健康成本值升序排列。其中

Nc1j1Nc1j1Jhealth1J(i,j,k,l)1Jhealth2

J2(i,j,k,l)

b：

Jhealth值最高的细菌将被控制为死亡，而其它的有较好的Jhealth值的非控制细

菌将进行繁殖。被控制为死亡的细菌数量不能超过细菌的数量要使得细菌整体的数量不变。

Sr ，最优个体繁殖出的新

re跳到步骤2。这种情况下，繁殖次数还未达到既定值，进行下一代的趋药过7：如果

程循环。

kN8：迁徙：对于细菌i1,2,...,S，我们以概率ed使其消亡。为了保持细菌群体数量的恒定，

如果一个细菌消亡，就要随机产生一个菌体，随机置于优化空间某个位置。如果

PlNed，跳到步骤2；否则结束。

多目标环境经济调度问题求解

在IEEE-30模拟系统中，环境经济调度要解决的问题是实际意义上的多目标问题，即同时优化问题的每个目标函数。问题描述如下：

minmize{FG,EG} (14)

PG Subject to:

g(PG)0h(PG)0

SiSimax, i1,...,nl

其中，(0,1),g和h分别为功率平衡约束和机组发电容量约束，nl为输电线路条数。每一个发电机组的实际输出功率的上下边界值定义为Pmax150，Pmin5，每个节点的电压的安全运行范围限制为：Vmax1.0500, Vmin0.9500。优化过程通过MATLAB实现。

算法的参数设置如下：n= 2，S= 200，Nc= 100，Ns= 5，Nre= 4，Ned= 2，Ped= 0.2，

C= 0.1，用这些参数初始化算法。表5给出了燃料总费用和排放系数的值。表6给出了MBFO

得到的最优解。图2展示了应用MBFO求得的Pareto最优前端。运用模糊隶属度函数得到的最优折衷解列于表7中。

表5. 燃料总费用与排放系数

a

Cost

b c a

emissions

b c x l G1

G2

G3 G4 G5 G6

100 200 10 6.490e-2 -5.553e-2 4.091e-2 2e-4 2.857 120 150 10 5.638e-2

40 180 20 4.586e-2

60 100 10 3.380e-2

40 180 20 4.586e-2

100 150 10 5.151e-2

-6.047e-2 -5.094e-2 -3.550e-2 -5.094e-2 -5.555e-2 2.543e-2 4.258e-2 5.426e-2 4.258e-2 6.131e-2 5e-4 1e-6 2e-3 1e-6 1e-5 3.333 8.000 2.000 8.000 6.667

表6. 多目标细菌觅食算法取得的最优Pareto集

PG1 PG2 PG3 PG4 PG5 PG6

MBFO Bestf1 11.08 29.92 58.35 103.05 45.79 37.96 606.62 0.2241

Bestf2 40.40 44.55 55.06 42.71 54.42 50.48 638.77 0.1953

f1 f2

0.2250.220.215Cost($/h)MBFO0.210.2050.20.195600610620630Emission(ton/h)640

图2. MBFO算法求得的Pareto最优前端

表7. 多目标细菌觅食算法得到的最优折衷解

PG1 PG2 PG3 PG4 PG5 PG6

燃料成本($/h) 排放量(t/h)

MBFO 18.48 32.95 57.49 87.42 48.88 41.22 609.2052 0.2014

从表6可以看出，用MBFO算法求解多目标环境经济调度问题，得的最小燃料总费用为606.62，污染排放的最小值为0.1953。从图2中可以看出，Pareto优化解集中的非控解具有良好的分配性能和满意的多样性特征。

5启发思考题

请从非线性规划、目标规划或启发式算法的角度，考虑多目标电力系统环境经济调度问题的其它可能解决办法。