课堂教学设计 两角差的余弦公式

河北武中·宏达教育集团教师课时教案

备课人 课题 课标要求 教 学 目 标 重点 难点 授课时间 3.1.1 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 知识目标 通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式” 运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；技能目标 体会化归、数形结合等数学思想的运用 情感态度价值观 使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣 通过探究得到两角差的余弦公式 探索过程的组织和适当引导 问题与情境及教师活动 （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 cos45 学生活动 教 学 过 程 及 方 法 23，cos30，由此我们能22 学生回答 否得到cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？ 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos? （二）探讨过程： 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P1，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。 思考1：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案

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问题与情境及教师活动 证明：在单位圆O中，作学生活动 教 学 过 程 及 方 法 P1OX， ， 交单位圆于点P1，作POP 1 则XOP．过点P作PM垂直 x 轴于M，PAOP1于点A，过点 点A作ABOM于点B ，过点P，作PCAB于点C，则： OAcos，APsin，且PACP1OX OMOBBMOBCPOAcosAPsin coscossinsin ∴cos()coscossinsin（、为锐角，且 ） 方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个 代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结 合． 提问：当、取任意角的时候，结果又会怎样呢？（给学生思考 的时间，要求学生说出自己的思考结果）． 方法二：（利用向量） 学生思考 启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦， y 我们在什么地方见到过类似结构？ 1 （引导学生发现，提出证明方法） (cos,sin) B(cos,sin)  A x 学生：向量的-1 0 1 2 教 问题与情境及教师活动 -1 学生活动 高考资源网版权所有，侵权必究！

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学 证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角 过 、，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则： 程 OA=(cos,sin)，OB =(cos,sin) 及 OAOBcos()(cos,sin)(cos,sin) |OA||OB|方 =coscossinsin 法 ∴cos()=coscossinsin （0≤≤） 方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！ 例题讲解 例1、利用差角余弦公式求cos15的值. 解：分析：把15构造成两个特殊角的差. cos15cos4530cos45cos30sin45sin302321222262 4如：cos15cos6045，要学会灵活运用. 思考：利用差角余弦公式求cos75. 3 点评：把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，例 学生思考

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学 过 程 及 方 法 4解：因为,，sin由此得5234cos1sin21 55又因为2 cos5,13是第三象限角，所以2125sin1cos21 1313所以35412cos()coscossinsin51351333 65点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 思考：本题中没有,)，呢？ 2例3：公式的逆用：（1）cos80cos20sin80sin20 13（2）cos15sin15 221、牢记公式C()CCSS． 2、在运用两角差的余弦公式时应注意：(1)公式中的、可以是单角，也可以是教 学 小 复角；应用时要注意角的变换;如2()();()等。 66结 （2）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．（3）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．（4）灵活选取两角的形式，活用公式． 课后 反思

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