基于龙格_库塔法的变步长策略改进

基于龙格-库塔法的变步长策略改进

刘计艳

(中国石化管道储运公司徐州华冠石油化工有限公司,江苏徐州221004)

摘要:计算机仿真中的数值积分算法有许多种,其中应用最广的要属龙格-库塔法,但其变步长策略还有待进一步改进。提出一种基于龙格-库塔法的新的变步长策略。

关键词:龙格-库塔法;变步长;数值积分曲线

中图号:TP15

1󰀁引言

数值积分法发展到今天,已有许多种拟合手段,迄今为止,应用最广泛的当属四阶龙格-库塔法,并以变步长的龙格库塔法为优。

但鉴于其计算量和计算精度有待进一步提高,有必要进一步寻找更优方法以便在不无限地减小步长条件下达到较高的精度。换言之,现在更需要一种合理安排步长的策略。变步长的四阶龙格-库塔法计算公式为

yn=yn-1+h󰀁6(k1+4k4+k5);k1=f(tn-1,yn-1);

k2=f(tn-1+h󰀁3,yn-1+k1h󰀁3);k3=f[tn-1+h󰀁3,yn-1+(k1+k2)h󰀁6];k4=f[tn-1+h󰀁2,yn-1+(k1+3k2)h󰀁8];k5=f[tn-1+h,yn-1+(k1-3k3+4k4)h󰀁2];积分步长h由输出值yn的误差大小来控制。误差计算公式为

En=(2k1-9k3+8k4-k5)h󰀁30;当En>Emax,h2=h1󰀂1󰀁2;(步长减半)当En这里每一步都要计算误差以调节步长。不难看出,这种方法每步都要计算误差,不但需要Emax,还需要计算Emin,计算量大。更为困难的是对真值结果并不知道,也自然就无法知道Emax和Emin的准确值了。

这里有一种方法可以解决此类问题,对于一个被积分函数f(x),如果其上升或下降速度比较快,传统数值积分时最容易产生误差。以前的变步长策略无非是判断误差,然后使步长加倍或减半。这里就连误差都是估算出来的,把它当作准确依据来决定步长加倍或减半则难以保证其准确性。步长机械地加倍或减半势必会在真值前某个数值附近振荡。图1󰀁数值积分曲线示意图Fig.1󰀁Numericalvalueintegralcurve

文献标识码:B

即如果En偏大,则使步长减为原来的一半,这样又会使En偏小,还要重新增加步长,如此反复。所以,通过斜率来调整步长不失是一种有效办法。如图1所示。

被积函数y=f(x)曲线上A、B两点的坐标分别为(xA,f(xA))、(xB,f(xB)),斜率分别为kA和kB;此数值积分方案为:

(1)如果KA和KB的绝对值都大于或等于tan5 |KA|󰀁|KB|=hB󰀁hA,即hB=|KA󰀁KB|hA;(2)如果KA或KB的绝对值都大于或等于tan5 用变步长龙格库塔法中的变步长办法,如此,步长调节更为合理。其特点为:!每步需要计算一次B点的CB=KB-tan5 ,用CB与0比较,判断是否使用新步长策略;∀需要保存上次计算中的k1值。当然,这是一种变步长策略,其母体-数值积分法仍属

于龙格-库塔。2󰀁结语

最终变步长策略公式如下yn=yn-1+h󰀁6(k1+4k4+k5)k1=f(tn-1,yn-1);

k2=f(tn-1+h󰀁3,yn-1+k1h󰀁3);k3=f[tn-1+h󰀁3,yn-1+(k1+k2)h󰀁6];k4=f[tn-1+h󰀁2,yn-1+(k1+3k2)h󰀁8];k5=f[tn-1+h,yn-1+(k1-3k3+4k4)h󰀁2];En=(2k1-9k3+8k4-k5)󰀁2005年第12期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁煤󰀁󰀁矿󰀁󰀁机󰀁󰀁械󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁#󰀁123󰀁󰀁#󰀁󰀁文章编号:1003󰀁0794(2005)12󰀁0123󰀁03

超化矿提升系统技术改造可靠性研究

孙进良,苏中华,董明甫,刘󰀁扬(郑煤集团公司超化煤矿,河南新密452385)

摘要:针对矿井提升系统存在的问题,提出进行改造的必要和达到的目的,研究制定可靠的技术方案,介绍了方案实施的效果,并提出了下一步的建议。

关键词:提升系统;改造;技术方案;PLC

中图号:TD534

1󰀁前言

郑煤集团超化矿是一座设计年产90万t的矿井,随着放顶煤技术的应用,井下生产能力已达到200万t/a以上,提升系统客观存在着超载现象,运输能力不足成了制约矿井生产发展的主要因素,因此,对矿井提升系统进行技术改造势在必行。2󰀁主井提升系统现状及改造必要

(1)主井提升情况参数提升机滚筒直径D󰀁mm最大静张力󰀁kN最大静张力差󰀁kN减速器传动比i输出扭矩󰀁kNm箕斗容积󰀁m

3

文献标识码:B

电机

额定功率Pe󰀁kW额定转速Ne󰀁r#min电控系统

最大提升速度vmax󰀁m#s

-1-1

YR630-8/1180

630

741TKD5.7690

最大提升循环时间Tx󰀁s

2JK-3/20

3000130

80

ZHLR-150k

20

(2)改造的必要性

!工作面放顶煤工艺日臻成熟,采面峰值产量己达800t/h,但由于提升系统的瓶颈限制,造成井下待运,制约矿井安全生产。∀装载系统为人工装载,装载不均匀性易出现箕斗超载现象,箕斗现实际提升量为7500kg/斗,致使最大静张力超7.63%,最大静张力差超14.9%。违反∃煤矿安全规程%及∃矿山固定机械手册%对提升系统的有关规定,违背矿井安全程度评估对提升系统的要求,存在着重大安全隐患。&由于主井提升超载,已出现滚筒焊缝多次开裂,减速器齿轮裂纹,点蚀现象严重,每次检修严重影响生产。∋由于超载提升,张力及张力差度提高。所以是一种更优的仿真算法。

参考文献:

[1]杜长龙.计算机仿真技术[M].徐州:中国矿业大学出版社.

作者简介:刘计艳(1972-),女,河北丰润人,工程师,1995年毕业于西安石油学院化工机械与设备专业,现在中国石化管道储运公司徐州华冠石油化工有限公司从事生产及设备管理工作,已发表论文多篇.

180

JQZ轻型侧装底卸式箕斗

6󰀂76700

箕斗一次提升量󰀁kg

󰀁󰀁(1)如果kn1的绝对值(tg5 ,k(n-1)1的绝对值(tg5 ,且En(2)如果En>Emax,hn=hn-1󰀂1󰀁2,否则,hn=hn-1󰀂2。

运用这种步长策略的龙格-库塔法虽然每步都要多进行一步kn1和k(n-1)1的比较过程,但却使步长变化更为合理,总计算量大为减少。而且使计算精

收稿日期:2005󰀁06󰀁15

TheImprovementoftheVariationalStepMethodBasedon

Runge-Kutta

LIUJi-yan

(XuzhouHuaguanPetrochemicalCo.,Ltd.,PipelineStorageandTransportationCompany,SINOPEC,Xuzhou221004,China)

Abstract:Therearemanynumericalintegralmethodsthatcanbeadptedtothecomputeremulation.ButtheRunge-Kuttaisthemostpopularoneanditsmethodofvaryingstepsistobeimproved.Thepapergivesthenewone.Keywords:Runge-Kutta;variablesteps;numericalvalueintegralcurve