四川大学期末考试试题(闭卷)2017-2018春微积分

课程号：201138040 课序号： 适用专业年级： 学生人数： 课程名称：微积分（I）-2

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考 生 承 诺 我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定 （修订）》，郑重承诺： 1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。 考生签名： 注：考试时间 120 分钟。请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记 0 分。一、计算题(每小题 5 分，共 30 分) 1. 求曲线 x  cos t, y  sin t, z  t cos t 上点(1, 0, 0) 处的切线方程. 2. 求曲面 z  xy 在点  2, 3, 6）处的切平面方程. 3. 设 D  {( x, y)  2 | x  y1, x0, y0} ，求 xdxdy . D 4. 设 是曲面 z  x2  y2 与平面 z  1 围成的区域, 求 (z  x2 y3 sin z4 )dxdydz. 2 5. 设 是起点为 1, 0,1）、终点为 0,1,1）的有向线段, 求( y z  x)dy.  xy  y  x2 6. 求微分方程初值问题的解. （y 1） 2018  二、解答题 (每小题 8 分，共 40 分) 1. 交换二次积分 I   dx y e dy 的积分次序并计算 I . 0 x 3 31 1 2 y  x2  y2  z2  1 2 2. 设曲线 的方程为 , 求( x  1)ds.  x  y  z  0 3. 设平面曲线 L 为 y  2 1  x2 9 , 起点为 3, 0）, 终点为  3, 0）, 求 L xdy  ydx x  y 2 2 . 4. 设曲面 是球面 z  2  x2  y2 与锥面 z  x2  y2 围成立体的表面，  的方向指向外侧, 求

222xdydz  ydzdx  zdxdy.  第 1 页，共 2 页试卷编号：

 3 x2 y4 , ( x, y)  (0, 0) f f 2 25. f ( x, y)  x y , (1)求 (0, 0) 和 (0, 0) ; x y 0, ( x, y)  (0, 0) 2 2 ) , 求f (0, 0). (2)判断 （f x, y）在点 0, 0）处是否可微; (3)设向量l  ( , l 2 2

三、应用题 (每小题 9 分，共 18 分)

1. 求圆 x2  y2  1 上一点, 使得该点到 A0, 0 、 B 3, 0 、C 0, 4 的距离的平方之和最小.

2. 设函数 y f ( x) 处处二阶可导, 其函数图像上任意一点

x, y）处的切线与 y 轴的交点为 0, u( x) , 若u  u  y  2 x2 , 并且 f (1) f (1)  4  e , 求函数 y f ( x) .

四、证明题 (每小题 6 分，共 12 分) 1. 设可微函数 f ( x, y, z) 满足: f (ta x, t b y, t c z)  t a  b c f ( x, y, z), t  0 , 其中 a , b , c 都是正

f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z)  by  cz  (a  b  c) f ( x, y, z). 整数. 求证: ax x y z x2 y2 z2 2. 设 为曲面 2  2  2  1 (a, b, c  0) , abc

I   dS ,   1  a2 ,   1  b2 . c2 c2

(1) 求证: I  2

 Dxy x2 y2 1   2  2 a b 其中 Dxy  {( x, y)  dxdy, 2 2 1  x2 y2 ab2 x2  2 | y2 1}. 2 ba1 (2) 上述积分很难直接计算, 试用你的想法给出 I 的估算公式, 并给出该公式在  a  1, b  2, c  3 时的结果. (保留两位小数, 合理的估值均可得分)

第 2 页，共 2 页试卷编号：

2018 微积分（1）-2 参考解答

一、计算题：（每题褵分，共褳褰分）

褱、求曲线x = cos t, y = sin t, z = t cos t上点(1, 0, 0)处的切线方程褮

解褺 对曲线方程关于t求导可得切向量为

(− sin t, cos t, cos t − t sin t) ······························ 3分

代入点(1, 0, 0)对应的参数t = 0可得点(1, 0, 0)处的切向量为(0, 1, 1). 于是褬

切线方程为

x − 1 y z ············0

= 1= ···························

1

2分褲、求曲面z = xy在点(−2, −3, 6)处的切平面方程褮 解褺 曲面z = xy的法向量是

(−zx, −zy, 1) = (−y, −x, 1), ········································ 3分

于是在点(−2, −3, 6)处的法向量为(3, 2, 1). 因此，所求切平面方程为

3(x + 2) + 2(y + 3) + z − 6 = 0，即

3x + 2y + z + 6 = 0 ································ 2分

褳、设D = {(x, y) ∈ R2| x + y :( 1, x ;;? 0, y ;;? 0}，求FF xdxdy.

D

解褺

ff

xdxdy f= 1 dx f

1−x xdy ······································ 3分

D

f 0 1 0 =

1 0

(x − x21 )dx = 2 − 1

3 = 6 ·······························

2分 褱

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页

✓FFF

褴、设Ω是曲面z = x2 + y2与平面z = 1围成的区域褬求(z+x2y3 sin z4)dxdydz褮

Ω

解褺 由Ω的对称性褬

fff

x2y3 sin z4dxdydz = 0 ····························· 1分

Ω

由截面法褬 注意到 Dz = {(x, y) ∈ R2| x2 +y2 :( z2} ············· 1分

f 1 f

∴ 原式 =

dz y

0

fD zdxdz

f 1

= 3z

=

π0

πzd4 ······························

3分

褵、设Γ是起点为(1, 0, 1)、 终点为(0, 1, 1)的有向线段褬 求

F

(y2 + z − x)dy.

Γ

解褺 Γ的参数方程x = 1−t, y = t, z = 1，t : 0 → 1， ········· 2分

f 原式 = 21 (t + t)dt

0 = 5 6 ······························

3分

褶、求微分方程初值问题

xyI −y = x2 的解褮

y(1) = 2018 解褺 由( ) =

y I xyI − y x x2 = 1，可得褺 y x = x + C ······································· 2分 代入初始条件褬 可得C = 2017.于是方程的解为

y = x2 + 2017x ······································· 3分

褲

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页

F 1 F 1 ✓褱、交换二次积分I = 0 dx x3 3 y2eydy的积分次序并计算I.

解：画出积分区域：

二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）

y y = x3 (1, 1) F 1 √F 3 y y2eydx I = dy

0 yF yedy 0 01

褲 分

✓

3

=

0

x

F 1 1 y1= ye0 − 0 eydy = e − (e − 1) = 1.

x2 + y2 + z2 = 1

3分

3分

F (x + 1)2ds 褮 褬 求

Γ

褲、设曲线Γ的方程为

x + y + z = 0

解褺 由Γ的轮换对称性褬 可得

f

Γ xds =

2f

Γ

yds =

2f

Γ

z2ds

1 f 2= (x + y2 + z2)ds 3

1 f 2π = ds = . 3

3

Γ

Γ

4分

再由Γ关于原点的对称性褬 可得

F xds = 0. Γ

2分 f

Γ

f

Γ

(x + 1)ds =

2f

Γ

(x + 2x + 1)ds =

2f

Γ

xds +

28π

ds = .

3

2分

褳、设平面曲线L为y 解褺 首先褬

I F xdy − ydx 2 x褬求褮(3, 0) 1 − 褬起点为 (−3, 0) 2 + 2 褬终点为 = 2 xy9 L

( 2= = (x2 + y2 2 , (x2 + y2 )2 ∂y x + y2 ) )22222∂ x (x + y) − 2x y − x ( Qx =

2 + y2 = = (x2 + y2 2 . ∂x x2 2 ) (x2 + y))Py =

∂ −y

−(x + y) + 2y

222

y − x

22既然 Py = Qx褬 于是曲线积分与路径无关褻 褳分

褳

第 5 页，共 2 页

试卷编号：

取新的路径 LI : y =

√

9 − x2褬 起点为(3, 0)褬 终点为(−3, 0)褮 LI的参数方程x = 3 cos θ, y = 3 sin θ褬 其中θ从褰变化到π褮 褲分

代入曲线积分可得

1

f π

原式 =

9 0

(9 sin2 θ + 9 cos2 θ)dθ = π.

3分

褴、设曲面Σ是球面z = ✓ 2 x2 y2与锥面z = ✓x2 + y2围成立体的表面褬 Σ的方向指向外侧褬 求FF x2dydz −−+ y2dzdx + z2dxdy褮

Σ

解褺 由高斯公式褬

原fff式 =

(2x + 2y + 2z)dxdydz. 2分

Ω

由Ω的对称性褬 可得

FFF

xdxdydz =

FFF

ydxdydz = 0.

fffΩ

Ω

∴ 原式 = 2

f Ωzdxdydz = 2 2 π

f f 0

π/4 √2

dθ

0

d

ϕ

0

f r cos ϕ · r2 sin ϕdr

4分

π/4

= 4π

cos ϕ sin ϕdϕ = π. 2分

0

✓ 3 24

褵、设f (x, y) =

xy✓

(0, 0) 2 , (x, y) 0, x2 + y褬 褨褱褩求∂f (x, y) = (0, 0)

∂x(0, 0)∂f √ 和(0, 0)褻

2 √∂y 2 ∂f

褨褲褩判断f (x, y)在点(0, 0)处是否可微褻 褨褳褩设向量 l = ( )褬 求 (0, 0)褮 2

, − 2 ∂l 解褺 褨褱褩因为f (x, 0) = 0褬 ∂f d ∂x (0, 0) =df x(x,

0)| x=0 = 0.

同理褬 因为f (0, y) = 0褬 ∂f d

∂y (0, 0) =f d(y 0, y)| y=0 = 0. 2分

褴

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页

褨褲褩 令∆y = k∆x褬 通过计算下列极限褬发现其与k有关褬 从而极限不存在褮

lim f (0 + ∆ x, 0 + ∆ y) − ✓ f (0, 0) − fx(0, 0)∆x − fy(0, 0)∆y

∆∆xy→→00

(∆x)2 + (∆y)2

✓

3 2(∆y)✓ 4(4/3

∆x)3 (∆x)2(k∆x)4

k= lim2 ∆ (∆x)2 + (∆y)= ∆xy→ →0 0

∆limx→0 (∆x)2 + (k∆x)2 = 1 + k2 .

因此褬由定义可知函数√ f (x, y)在点(0, 0)处不可微褮 褳分

褨褳褩因为 l = ( 2 √2

, − 2 2 ) = (cos α, cos β)褬 由方向导数的定义可得

∂f f (0 + t cos α, 0 + t cos β∂l (0, 0) = lim

) − f (0, 0)

t→0+ ✓ 1

3 t6 cos2 αt

1 分

= lim cos4 β

· ✓= .

3

t→0+ t

t2

cos2 α + t2 cos2

β 2

三、应用题：（每题褹分，共褱褸分）

褱、求圆x2 + y2 = 1上一点褬 使得该点到A(0, 0)、B(3, 0)、C(0, 4)的距离的

平方之和最小褮

解褺 令f (x, y, λ) = x2 + y2 + (x − 3)2 + y2 + x2 + (y − 4)2 + λ(x2 + y2 − 1)褮

褳分

由方程组

fx = 4x + 2(x − 3) + 2λx = 0

fy = 4y + 2(y − 4) + 2λy = 0 3分

fλ = x2 + y2 − 1 = 0

可解得驻点为(x, y) = (±3 , ±4 3 4 5 )褻 由题意可知所求的点为5 ( , )褮 5 5

褳分

褲、设函数y = f (x)处处二阶可导，并且f (1) = f I(1) + 4 = e，其函数图像上任意一点(x, y)处的切线与y轴的交点为(0, u(x))，若u − uI = y + 2x2，求函数y = f (x)褮

解褺 u(x) − y = yI(0 − x)褬 u(x) = y − xyI褬 uI(x) = yI − yI − xyII = −xyII褮

褵

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因为u − uI = y − xyI + xyII = y + 2x2，则当x 0时褬 yII − yI = 2x. 4分

解方程yII − yI = 2x，可得y = C1ex + C2 − x2 − 2x. 3分再由 f (1) = f I(1) + 4 = e，可得y = ex − x2 − 2x + 3. 2分

四、证明题：（每题褶分，共褱褲分）

褱、设可微函数f (x, y, z)满足褺 f (tax, tby, tcz) = ta+b+cf (x, y, z), ∀t > 0褬 其 中 a, b, c 都是正整数褮 求证褺

ax ∂f ∂x (x, y, z) + by ∂f ∂y (x, y, z) + cz ∂f ∂z

(x, y, z) = (a + b + c)f (x, y, z). 证明褺 令u = tax褬 v = tby褬 w = tcz褬 k = a + b + c褮 对f (u, v, w) = tkf (x, y, z)关于t求导可得褺

∂f ∂u (u, v, w)·ata−1x+∂ f ∂f

∂v( u, v, w)·btb−1y+ ∂w(u,

v, w)·ctc−1z = ktk−1f (u, v, w). 褴分

上述表达式中令t = 1褬 即有

ax ∂f ∂f ∂f∂x (x, y, z) + by ∂y (x, y, z) + cz

∂z

(x, y, z) = (a + b + c)f (x, y, z).

褲分

x2 y2 褲、设 Σ 为曲面z2

褬 FF 褬

2

I =

a2 + b2 + c2

= 1 (a, b, c > 0)

α = 1 − cΣ dS a

2 褬 = 1 − c2 β

褨褱褩 求证b

2 褮 褺

ff x2 I = 2 「1 − α− β y2 IIa2 b2 x2 y2 dxdy, Dxy : U + :( 1.

D1 − x2 y2a2 b2

xy

a2 − b2

褨褲褩 上述积分很难直接计算褬 试用你的想法给出1

πI

的估算公式褬 并给出该公

式在a = 1, b = 2, c = 3时的结果褮 褨保留两位小数褬 合理的估值均可得分褩

褶

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I

2xy2 ∂z c2 x∂z c2 y

证褺 褨褱褩 z =

1 − 2 − 2 褬 ∂x = − a2 z 褬 ∂y = − 褱分

c

abb2 z ,

！

2dS = 1 + （ − c x )2

（ + − c2 y )2 a2 z

「b2 z dxdy

2 x2 c y2 = I4c 2 U1 +

x2a b4 x2

y2 + 1 − y2 dxdy 「1 − ac2 2 − a2 − b2 22 1 − (1 ) xb − (1 − c2 b2 ) y2 b2 dxdy

=I− a2 a2 U

x 2 y2 「

= x I21 − a2 − b2

1 2I − α β y

−2 dxdy, 2 aU 1 − x2 2分

2 a2 − b

y2 由曲面Σ的对称性褬 只需要计算上半椭球面积的褲倍褻 因此褬

ff

「x2 y2 I

1 − αa2 − β b2 x2 y2 I = 2 dxdy, Dxy : :( 1. 1分

IU +

2 2 a2 b

2

Dxy

1 − xya2 − b2

褨褲褩 合理估值范围褺 4min{a2, b2, c2} :( 1 π

I :( 4max{a2, b2, c2}. 参考估值公式褺

1 πI ≈ 4 (a2 + b2 + c21

3

), 4

π I ≈ (ab + bc + ac), 1 3

I

p apbp + bpcp + apcp π I ≈ 4

3 , p > 0. 当a = 1, b = 2, c = 3时褬 合理范围是 4 :( 1 I 结果在[10, 20]上给褲分褻 估值结果在[4, 10) ∪ (20, 36]π:(

36 褮 事实上I ≈ 15.57褻 估值

上给褱分褮

褷

第 9 页，共 2

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