抛物线的性质归纳及证明

概念

焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；

焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.

性质及证明

过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),倾斜角为,中点为C(x0,y0), 分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’. 1.求证：①焦半径|AF|x1pppp；②焦半径|BF|x2; 21cos21cos1122p③＋＝； ④弦长| AB |＝x1＋x2＋p=；特别地，当x1=x2(=90)2| AF || BF |psinp2时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝.

2sinpp

证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋，| BF |＝| BC |＝x2＋，

22

| AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p

如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为 A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cos， ∴| AF |＝

| RF |p

＝

1－cos1－cosB1  F A1 R O C B(x2，y2) 图2 x D y A(x1，y1) | RF |p

同理，| BF |＝＝ 1＋cos1＋cos∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝

pp2p

＋＝2 .

1－cos1＋cossin111p

S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝| OF || y1 |＋| OF || y1 |＝··(| y1

2222|＋| y1 |)

∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |

pppp2p2

22222

∴S△OAB＝| y1－y2 |＝(y1＋y2)－4y1y2＝4mp＋4p＝1＋m＝ .

44422sin1

p211222.求证：①x1x2；②y1y2p③ ＋＝p.

| AF || BF |；4

当AB⊥x轴时，有 成立； AFBFp，当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：ykx2p.代入抛物线方程： 2p22p2222k0kx2px.化简得：kxpk2x42k2∵方程（1）之二根为x1，x2，∴x1x2.

41

x1x2p111111pp2 AFBFAA1BB1xpxpx1x2x1x2122224x1x2px1x2p2. pp2pp2px1x2px1x22424yA'AC'KOFB'BCx3.求证：AC'BA'FB'Rt∠.

先证明：∠AMB＝Rt∠

【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则

△ADM≌△ECM，

∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |

2

E M D y A(x1，y1) R C O N F B(x2，y2) x 图3

∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点， ∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠ 【证法二】取AB的中点N，连结MN，则

111

| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |

222∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.

pppy1＋y2

【证法三】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－，). 2222

y1＋y2－p2

y1－p(y1－)

2y1y1－y2p(y1－y2)pp

∴kAM＝＝＝2＝＝，同理k＝ BM22

py1y2y1y1＋p2y1＋p2x1＋2·＋p22pppp2p2

∴kAM·kBM＝·＝＝＝－1

y1y2y1y2－p2∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.

pp

【证法四】由已知得C(－，y2)、D(－，y1)，由此得M(－

22py1＋y2

，). 22

py1－y2→py2－y1→∴MA＝(x1＋，)，MB＝(x3＋，)

2222pp(y1－y2)(y2－y1)→→∴MA·MB＝(x1＋)(x2＋)＋ 224

pp2(y1－y2)2

＝x1x2＋(x1＋x2)＋－

244

2222

p2py1y2p2y1＋y2－2y1y2＝＋(＋)＋－ 422p2p44

y D 1 2 34 A M R C O F B 图4 x p2y1y2p2－p2

＝＋＝＋＝0 2222

→→∴MA⊥MB，故∠AMB＝Rt∠.

【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结FM，则FM＝DM.

又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4

3

1

∴∠2＋∠3＝×180＝90

2∴∠AMB＝Rt∠. 接着证明：∠DFC＝Rt∠

【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF，

故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝， 同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝， 而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180 ∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC＝90 py1＋y2

【证法二】取CD的中点M，即M(－，)

22

－y2－y2pp

由前知kAM＝，kCF＝＝＝

y1pppy1

＋＋22

∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF ∴∠DFC＝∠AMB＝90.

→→【证法三】∵DF＝(p，－y1)，CF＝(p，－y2)，

→→∴DF·CF＝p2＋y1y2＝0 →→∴DF⊥CF，故∠DFC＝90.

| DR |

【证法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即＝| RF || RF |

，且∠DRF＝∠FRC＝90 | RC |

∴ △DRF∽△FRC

∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90 ∴∠DFR＋∠RFC＝90 ∴∠DFC＝90

4. C’A、C’B是抛物线的切线

y2pp1

【证法一】∵kAM＝，AM的直线方程为y－y1＝(x－)

y1y12p

4

y D  A(x1，y1) R C O     F( ，0)  2px B(x2，y2) 图5 y D G M R C O H D1 A(x1，y1) F B(x2，y2) x 图6 y M l M1 O N1 F N 图7 y D D1 A(x1，y1) x M R C O F B(x2，y2) x 图8

与抛物线方程y2＝2px联立消去x得

2

py2y12

y－y1＝(－)，整理得y2－2y1y＋y1＝0

y12p2p

可见△＝(2y1)2－4y21＝0，

故直线AM与抛物线y2＝2px相切， 同理BM也是抛物线的切线，如图8.

＝(2px)x， 【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，(y2)x

p

＝2p，yx＝，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝yx| y得2y·yx

y

＝y1

p＝. y1

p

又kAM＝，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的

y1

切线.

py1＋y2

【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－，)代入

22

2

＋y1y22px1－p2y1＋y2y1p2

左边＝y1·＝＝＝px1－，

2222

pp2

右边＝p(－＋x1)＝－＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，

22即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.

5. C’A、C’B分别是∠A’AB和∠B’BA的平分线. 【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，

则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE， ∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，

即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA. 【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜

角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即py1＋y2

＝2. 且M(－，) 22

图9

E R C D y A(x1，y1) M O F N x B(x2，y2) 5

∵tan＝kAB＝

y2－y1y2－y12p

＝2. 2＝x2－x1y2y1y1＋y2

－ 2p2p

y1＋y2－p2y1－p(y1－)2y1y1－y2p(y1－y2)p

tan＝kAM＝＝＝2＝＝. 22

py1y1y1＋p2y1＋p2x1＋2·＋p22p2p

y12tan2py12py12p

∴tan 2＝＝＝＝＝＝tan 2y2＋yyp2y21－tan212y1＋y22－p2

1－()

y1∴＝2，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.

6. AC’、A’F、y轴三线共点，BC’、B’F、y轴三线共点 【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，

由以上证明知| AD |＝| AF |，AM平分∠DAF，故AG1也是DF边上的中线， ∴G1是DF的中点.

设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2， 易知，| DD1 |＝| OF |，DD1∥OF， 故△DD1G2≌△FOG2

∴| DG2 |＝| FG2 |，则G2也是DF的中点.

∴G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，

同理BM、CF、y轴也三线共点.

y2p1

【证法二】AM的直线方程为y－y1＝(x－)，

y12p

C G M R O H D y D1 A(x1，y1) F B(x2，y2) x 图10

y1

令x＝0得AM与y轴交于点G1(0，)，

2

y1py1

又DF的直线方程为y＝－(x－)，令x＝0得DF与y轴交于点G2(0，) p22y1

∴AM、DF与y轴的相交同一点G(0，)，则AM、DF、y轴三线共点，

2同理BM、CF、y轴也三线共点H．由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.

6

7. A、O、B’三点共线，B、O、A’三点共线. y1y12p

【证法一】如图11，kOA＝＝2＝，

x1y1y1

2p

y22y22py22py22pkOC＝＝－＝－2＝－＝ ppp－y1y2y1 － 2∴kOA＝kOC，则A、O、C三点共线， 同理D、O、B三点也共线.

【证法二】设AC与x轴交于点O，∵AD∥RF∥BC

| RO || CO || BF || OF || CB |∴＝＝，＝， | AD || CA || AB || AF || AB |又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴

| RO || OF |

＝ | AF || AF |

图11 y D A(x1，y1) R C O F B(x2，y2) x ∴| RO |＝| OF |，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.

| OF || AF |

【证法三】设AC与x轴交于点O，RF∥BC，＝，

| CB || AB |

∴| OF |＝

| CB |·| AF || BF |·| AF |1p

＝＝＝【见⑵证】

| AB |112| AF |＋| BF |

＋ | AF || BF |

∴O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线. p→→【证法四】∵OC＝(－，y2)，OA＝(x1，y1)，

2

y2pppy1y1y2y1py1p2y11

∵－·y1－x1 y2＝－·y1－ y2＝－－＝－＋＝0

222p22p22p→→∴OC∥OA，且都以O为端点

∴A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.

【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：x＝－m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图：

7

yMA yMBNANOBPxPOx m－n

8. 若| AF |：| BF |＝m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角. 则cos ＝；

m＋n【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BE⊥AD

于E，设| AF |＝mt，| AF |＝nt，则

| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m－n)t | AE | (m－n)t m－n

∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝ | AB |(m＋n)tm＋nm－n

∴cos ＝cos∠BAE＝.

m＋n

【例6】设经过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线相交于

两点A、B，

且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB的倾斜角的大小为 . 【答案】60或120. 9. 以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切; A’B’为直径的圆与焦点弦AB相切. yA'M'MxKOFB'ByA'Ay D E A R O C l F B 图14  x yA'AAC'CxC' CxOKOFB'BF 【说明】如图15，设E是AF的中点， 8

p

＋x1 2y1

则E的坐标为(，)，

22

p

＋x1 21

则点E到y轴的距离为d＝＝| AF |

22故以AF为直径的圆与y轴相切， 同理以BF为直径的圆与y轴相切.

【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN⊥准线l于N，则

111

| MN |＝(| AD |＋| BC |)＝(| AF |＋| BF |)＝| AB |

2221

则圆心M到l的距离| MN |＝| AB |，

2故以AB为直径的圆与准线相切. 10. MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.

y2y2pp12

【证明】设A(，y1)，B(，y1)，则C(－，y2)，D(－，

2p2p22y1)，

2

y2y1＋y2py1＋y21＋y2

M(－，)，N(，)，

224p2

22

py1＋y2 －＋ 24py1＋y2

设MN的中点为Q，则Q (，)

22

22

y1＋y22py1＋y2 －＋ 222

－2p2＋y224p2 1＋y2 2y1y2＋y1＋y2

∵ ＝＝＝

28p8p2p

图16

∴点Q 在抛物线y2＝2px上，即Q是MN的中点.

9