福州大学2009年数学分析试题及解答

1．设x00，xn

2．设f(0)f(．证明f'(x)1（0x1）．此估计式能否改进？ 1)，f''(x)2（0x1）

3．设f(x,y)有处处连续的二阶偏导数，f'x(0,0)f'y(0,0)f(0,0)0．证明

ak1nk（n1），xnb（n）．求级数

a(xnn1nxn1)之和．

f(x,y)(1t)[x2f11(tx,ty)2xyf12(tx,ty)y2f22(tx,ty)]dt．

014．设f(x,y)在x,y0上连续，在x,y0内可微，存在唯一点(x0,y0)，使得x0,y00， ， f'x(x0,y0)f'y(x0,y0)0．设f(x0,y0)0，f(x,0)f(0,y)0（x,y0）

x2y2limf(x,y)0，证明f(x0,y0)是f(x,y)在x,y0上的最大值．

5．设处处有f''(x)0．证明：曲线yf(x)位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．

6．求IxdyydxL4x29y2，L是取反时针方向的单位圆周．

)是连续正值函数， 7．设f(F(t)x2y2z2t2f(x2y2z2)dxdydz(xy)f(xy)dxdy2222x2y2t2．

证明F(t)（t0）是严格单调减函数．

1anan8．设级数收敛，证明anxdxn．

0n0n0n1n0n19．设f(x)在[0,)上连续，其零点为xn:0x0x1xn，xn(n)．证明：积分

0f(x)dx收敛级数n0xn1xnf(x)dx收敛．

10．设ab，fn(x)在[a,b]上连续，

bafn(x)dx0（n1,2,），当n时，fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)．证明：至少存在一点x0[a,b]，使得f(x0)0．