高中必修 4 平面向量知识点概括及常有题型
一.向量的基本看法与基本运算
1 向量的看法：
① 向量 ：既有大小又有方向的量 向量一般用 a,b ,c ⋯ 来⋯ 表示，或用有
uu uuur
，a ； ur 几何表示法 AB
向线段的起点与终点的大写字母表示， 如：AB
坐标表示法 a xi yj (x, y) 向量的大小即向量的模（长度） ，记作
uuur
| AB | 即向量的大小，记作｜ a｜
向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．
② 零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是随意的， 0与随意愿
r r
量平行 零向量 a ＝ 0 ｜ a ｜＝0 因为 0
的方向是随意的，且规定 0
平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是 否有“非零向量 ”这个条件．（注意与 0 的差别） ③单位向量： 模为1 个单位长度的向量 向量 a为单位向量 ｜
0
a ｜＝1
0
④平行向量（共线向量） ：方向同样或相反的非零向量 随意一组平行 向量都能够移到同向来线上 方向同样或相反的向量，称为平行向量 记作 a∥ b 因为向量能够进行随意的平移 (即自由向量 )，平行向量总 能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点 能够随意选用，此刻一定划分清楚共线向量中的 “共线”与几何中的 “共
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线”、的含义，要理解好平行向量中的 “平行 ”与几何中的 “平行 ”是不一 样的．
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⑤ 相等向量： 长度相等且方向同样的向量 相等向量经过平移后总可
以重合，记为 a b 大小相等，方向同样 ( , ) ( , )
x1 y x y
1 2 2
x
1
x
2
y
1
y
2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
uuur r u uur r 设AB a, BC b
r u uur uuur
=AC ，则a+b uuur
=AB BC
（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法知足互换律与联合律； 向量加法有 “三角形法例 ”与“平行四边形法例 ”：
（1）用平行四边形法例时，两个已知向量是要共始点的，和向 量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对 角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法例的特色是 “首尾相接 ”，由第一个向量的起点指 向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从 减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首 尾连结时， 用三角形法例． 向量加法的三角形法例可推行至多个向量 相加：
uuur uuur uuur uu ur uu ur uu ur
AB BC CD L PQ QR AR ，但这时一定 “首尾相连 ”．
3向量的减法
① 相反向量： 与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向 量
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记作 a ,零向量的相反向量还是零向量
对于相反向量有： （i） ( a) =a； (ii) a+( a )=( a)+a=0 ；
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(iii)若a 、b 是互为相反向量，则 a= b ,b = a ,a+b =0
②向量减法： 向量 a加上b 的相反向量叫做 a与b 的差， 记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法： a b能够表示为从 b 的终点指向 a的终点的向量（ a 、b 有共同起点） 4实数与向量的积：
①实数 λ 与向量 a的积是一个向量， 记作 λa ，它的长度与方向规 定以下： （Ⅰ） a a ；
（Ⅱ）当 0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当 0时，λa 的 方向与 a 的方向相反；当 0时， a 0，方向是随意的
②数乘向量知足互换律、联合律与分派律 5两个向量共线定理：
向量 b 与非零向量 a 共线 有且只有一个实数 ，使得b = a 6平面向量的基本定理：
假如 e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量， 那么对这一平面内的 任一直量 a，有且只有一对实数 1, 2使：a 1e1 2 e2 ，此中不共线的 向量 e 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底
1 ,ee 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底
2
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件
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（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合） ，
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而向量平行则包含共线（重合）的状况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点 没关，只与其相对地点有关
学习本章主要建立数形转变和联合的看法， 以数代形，以形观数， 用代数的运算办理几何问题， 特别是办理向量的有关地点关系， 正确 运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、 向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它往 往会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是 知识的交汇点
二.平面向量的坐标表示
1 平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相
r r
同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内
r r r
r 的任一直量 a r ，因为 a与数对(x,y是) 一一对应的，因
可表示成 a xi yj
r r r
此把(x,y叫) 做向量 a的坐标，记作a=(x,y，)此中 x叫作a在 x轴上的坐标，
y叫做在 y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、 终点的详细地点 没关，只与其相对地点有关 2 平面向量的坐标运算：
(1) 若 r
r
，则
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r
a x1, y1 ,b x2, y2
r
a b x1 x2 , y1 y2
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(2) 若 A x1 , y , B x , y ，则
1 2 2
uuur
AB x2 x1, y2 y1
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(3)若ar =(x,y，) 则 ar =( x, y)
(4)若 (5)若
r
r
a x1, y1 ,b x2, y2
r
r
a x1, y1 ,b x2, y2 r ，则 0
x1 x y y
2 1 2
r
，则 r
a // b x y x y 0
1 2 2 1
r ，则 r
a b x x y y
1 2 1 2
r 若a b
3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积） 及其各运算的坐标表示和性质
运 几何方法 坐标方法 运算性质 算 类 型
向
1 平行四边形法 量 则 (a b) c a (b c)
r r
a b (x x,y y)
1 2 1 2
a b b a
的 2 三角形法例 加 法
uu ur uu ur
uuur
AB BC AC
向 量 的
r a b a ( b)
r
三角形法例 a b (x1 x2,y1 y2)
uu ur u uur AB BA
uu ur u uur uuur
OB OA AB
减
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法 向
a 是一个向量 ,
a ( x, y) ( a) ( )a
知足: )a a a
(
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量
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的 >0 时, a 与a 同
(a b) a b
乘 向; a∥b a b 法 <0 时, a 与a 异
向;
=0时, a =0
向
r a ? 是一个数
r
a?b b ?a
b
a?b xx yy
1 2 1 2
量 a 或b 0时,
0 ( a) ?b a ?( b) (a ?b)
的 a? =0
b (a b) ?c a ?c b ?c
数
a 且b 0时, a2 | a | ,
0
2 2 2
|a| x y
量
a ?b |a ||b| cos a,b | a ?b | | a || b |
积
三．平面向量的数目积 1两个向量的数目积： 已知两个非零向量 a
r
与br ，它们的夹角为 ，则ar ·br =︱ar ︱·︱br ︱叫做a
r
与br
的数目积（或内积） 规定0r ar 0
r
r
2向量的投影： ︱b
r
r 在a
r
方向上的投影
a b ︱cos = R，称为向量 投
r ∈b
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cos
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| a |
r
方向上的投影 投
影的绝对值称为射影
r r
3数目积的几何意义： ar ·b 等于ar 的长度与
在ar 方向上的投影的乘积
b
4向量的模与平方的关系：5乘法公式建立：
r r r r a a a a
2
| |2
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r r r r
2 r r r r
；
2
2 2
a b a b a b a b r r r r r r 2 r r r 2 r 2
2
2 2
a b a a b b a 2a b b
6平面向量数目积的运算律：
r r r r
①互换律建立： a b b a
r r r
r r r
②对实数的联合律建立： a b a b a b R r r r r r r r r
r r ③分派律建立： a b c a c b c
c a b r r r r r r ；
特别注意 ：（1）联合律不建立： a b c a b c
r
r r
r r r
（2）消去律不建立 不可以获得 b a b a c
c
r r =0 不可以获得 ar =0r 或br =0r
（3）a b
7两个向量的数目积的坐标运算： 已知两个向量
r r
=
r ，则ar ·b
x x y y
1 2 1 2
a (x , y ),b (x , y )
1 1 2 2
r
uu 8向量的夹角： 已知两个非零向量 ar 与 b ur ，作OA
（ r r
0 180
与 b 0
0 ）叫做向量 a
r
x x
y
r 2
1 2
y
2
r
x 2
1
cos =2 y
cos a, b a b 1
y 2
1
2
r ?
x
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u uru r
ar , OB
,则∠AOB= =b
= 的夹角高中数学必修4平面向量学习知识点总结计划及常有题型
r = r a ? b
2
r r r r
与 b 反方向 当且仅当两个非零向量 a 与b 同方向时， θ= 00，当且仅当
a
r 与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题
时 θ=1800，同时
0
r r
r
9垂直： 假如a 与 b
r
的夹角为 900 则称a
垂直，记作与 b
10两个非零向量垂直的充要条件 ：
a⊥b a·b ＝O 0
x1x y y 平面向量数目积的性质
2 1 2
题型 1.基本看法判断正误 ：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不行能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是独一的。
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r r
a ⊥ b
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uuur u
。 uur
（4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD
uuur uu
，则 A、B、C、D四点组成平行四边形。 ur
（5）若 AB CD
（6）因为向量就是有向线段，因此数轴是向量。
共线。 r r r r r r
（7）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c
r r r r
（8）若 ma mb ，则 a b
r r （9）若 ma na
都不是零向量。 r r r r
（10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b
。 r r
r r r r
（11）若 a b | a| | b |，则 a / /b
r r r r r r
（12）若 |a b | | a b | ，则 a b
题型 2.向量的加减运算
。
，则 m n 。
。
r r r r
1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则| a b |
u uur u uur u uur u uur uuuur
2.化简 (AB MB ) (BO BC) OM
。
。
uuur uu ur u uru
3.已知 |OA | 5 ,| OB | 3 ,则| AB |的最大值和最小值分别为 、 。
uuur uu ur uuur uu ur r uu ur r uuur u uur
，则 AB ， AD 为 与 的和向量，且 AC a, BD b
4.已知 AC AB AD
uuru u uru uuur uuur u uur
5.已知点 C在线段 AB 上，且 3 BC ,则 AC BC 。 题型 3.向量的数乘运算 AC AB uuur
5 ， AB
r r r r r r r r r r
1.计算：（1）3(a b) 2(a b) （2） 2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)
r
r
2.已知 a (1, 4), b ( 3,8)
题型 4.作图法球向量的和
r r r r
已知向量 a,b ，以以下图，请做出向量 1
3a b 2 r
，则 r 1
。
r
。
3a b 2
和
r r 3 2a b 2
。
a r b
题型 5.依据图形由已知向量求未知向量
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uuur uuur
u uur
1.已知在 ABC中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB AC
。
uuur r uuur r
2.在平行四边形 ABCD 中，已知 AC a, BD b
， 表示 AD uu ur uuur ，求 AB AD
和 。
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题型 6.向量的坐标运算
uuur 1.已知 AB (4,5) uu ur 2.已知 PQ ( 3, 5)
， A(2,3) ，则点 B 的坐标是 。
， P(3,7) ，则点 Q 的坐标是 。
r
3.若物体受三个力 F1 (1,2)
r
4.已知 a ( 3, 4)
r
, F2 ( 2,3) r
, F3 ( 1, 4) r
r
,则协力的坐标为 。 r
r
， b (5, 2)
r r r ，求 a b ，a b ，3a 2b
。
r
5.已知 A(1,2), B(3,2) ,向量 a (x 2, x 3y 2)
uu ur uu ur uu ur
6.已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ，CD ( 1,4)
uuur
与 AB 相等，求 x, y 的值。
uu ur ，则 DA
。
u uur uuur r
7.已知 O 是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8) ，且 AB 3BC 0
u 的坐标。 uur ，求 OC
题型 7.判断两个向量可否作为一组基底
ur 是平面内的一组基底，判断以下每组向量能否能组成一组基底： uur 1.已知 e1,e2
ur uur ur uur ur uur uur ur ur uur uur ur uur uur ur
和4 C.
A.e1 e2 e1 e2 3e 2e e 6e e1 3e2 e2 3e1 e e e
和 B. 和 D. 和
1 2 2 1 2 2 1
，能与 ar 组成基底的是（ ） r
2.已知 a (3,4) 3 4
A.
B.
4 3 ( , ) 5 5
C.
3 4 ( , ) 5 5
D.
4 ( 1, )
3
， xOA 150o ，求 OA
的坐标。
( , ) 5 5
题型 8.联合三角函数求向量坐标
uuur
1.已知 O 是坐标原点，点 A 在第二象限， | OA | 2 u uur
2.已知 O 是原点，点 A 在第一象限， | OA | 4 3
uuur
uuur
的坐标。
， xOA 60o ，求 OA
题型 9.求数目积
r ， r r r
r r r r 与 b ，且 a ，（2） a (a b) 1.已知 | a | 3,| b | 4 的夹角为 60o ，求（ 1） a b
r
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（3） r 1
r r
r r
。
(a b) b 2
r
r
2.已知 a (2, 6), b ( 8,10)
r r
，（4）(2a b) (a 3b)
r r
r ，
r r r r
，（3） a (2a b) ，求（ 1）| a |,| b |，（2） a b
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r r
。
r r
（4）(2a b) (a 3b)
题型 10.求向量的夹角
r
r
夹角。 r
r
r r 的1.已知 | a | 8,| b | 3
，求 a 与 b
， a b 12
r
的夹角。 r
r r 2.已知 a ( 3,1), b ( 2 3, 2)
，求 a 与 b
3.已知 A(1,0)， B(0,1) ，C (2,5) ，求 cos BAC 。 题型 11.求向量的模
r
r r
r r r 1.已知 | a | 3,| b | 4 ，且 a 与 b r r 的夹角为 60 ，（2）| 2a 3b | o ，求（ 1）| a b |
o
，求（ 1）| a b |
r
r r
r r
r r
r 1 2.已知 a (2, 6), b ( 8,10)
，求（ 1）| a |,| b |，（5）| a b |
| a b |
，（6） 2
r r
r
r r
r
。 ， ，| 3a 2b | 3
，求 | 3a b |
3.已知 | a | 1 | b | 2
r
r
r 题型 12.求单位向量 【与 a
平行的单位向量： e
a r 】 | a|
r
1.与 a (12,5) 平行的单位向量是 。
2.与
r 1
m ( 1, ) 平行的单位向量是 。
2
题型 13.向量的平行与垂直
r
r
r r
1.已知 a (6,2)
，b ( 3, m)
r r
？
，当 m 为什么值时，（1） a / ？（2）a b /b
r
r
r
r
2.已知 a (1,2) ， b ( 3, 2)
r
r
垂直？ ，（1）k 为什么值时，向量 ka b 与 a 3b
r r 平行？ r r
（2） k 为什么值时，向量 ka b 与 a 3b
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。
。
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r
r r r r
是非零向量， a b a c
r r ，且 b c
r 。
r r
，求证： a (b c)
3.已知 a
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题型 14.三点共线问题
1.已知 A(0, 2) ， B(2, 2) ， C(3, 4) ，求证： A,B,C 三点共线。
uuur r r uuur r r uuur r r 2.设 2
，求证： A、B、D 三点共线。
AB (a 5b), BC 2a 8b,CD 3(a b) 2
uuur r r uuur r r u uur r r
3.已知 AB a 2b, BC 5a 6b, CD 7a 2b
，则必定共线的三点是 。
4.已知 A(1, 3)， B(8, 1)，若点 C(2a 1,a 2) 在直线 AB 上，求 a 的值。
5. 已 知 四个 点的坐 标 O (0,0) ， A(3, 4) ， B( 1,2) ， C (1,1) ，是 否存 在 常数 t ， 使
uuur uuur uuur OA tOB OC
建立？
题型 15.判断多边形的形状
uuur r u uur r
uu ur uuur 1.若 AB 3e
，CD 5e，且 | AD | | BC |
,则四边形的形状是 。
2.已知 A(1,0)， B(4,3) ， C(2, 4) ， D (0, 2) ，证明四边形 ABCD 是梯形。
3.已知 A( 2,1) ， B(6, 3) ，C (0,5) ，求证： ABC 是直角三角形。
uuur uu ur u uur
4.在平面直角坐标系内， OA ( 1,8), OB ( 4,1), OC (1,3)
三角形。
,求证： ABC 是等腰直角
题型 16.平面向量的综合应用
r
r
， b (2,1)
r r
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r r
平行？
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1.已知 a (1,0)
，当 k 为什么值时，向量 ka b 与 a 3b
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r
2.已知 a ( 3, 5)
r
r ，且 a b
r r
，| b | 2 ，求 b 的坐标。
r r r r r r
3.已知 a与b 同向， b (1,2) ，则 a b 10，求 a r r r r
3.已知 a (1,2) ， b (3,1) ， c (5,4) ，则 c r r
4.已知 a (5,10) ， b ( 3, 4)
r
，c (5,0)
的坐标。
r a
r b 。
r
表示向量 cr 。
r
，请将用向量 a,b
r r
5.已知 a (m,3) ，b (2, 1)
r r 的夹角为钝角，求 m 的范围；
，（1）若 a 与 b
r r 的夹角为锐角，求 m 的范围。
（2）若 a 与 b
r
6.已知 a (6,2)
r
，b ( 3, m)
，当m
为什么值时，（1）a
夹角为锐角？
r
r r r
的
与 b 的夹角为钝角？ （2）a 与 b
7. 已知梯 形 ABCD 的顶 点坐标分 别为 A( 1,2) ， B(3, 4) ， D (2,1) ，且 AB / /DC ，
AB 2CD ，求点 C 的坐标。
8.已知平行四边形 ABCD 的三个极点的坐标分别为 A(2,1) ， B( 1,3) ，C (3, 4) ，求第四个 极点 D 的坐标。
o
9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实质航行方向与水流方向成 30 求水流速度与船的实质速度。
10.已知 ABC 三个极点的坐标分别为 A(3, 4) ， B (0,0) ， C(c ,0) ，
角，
uuur uu ur ，求 c 的值；（2）若 c 5 ，求 sin A 的值。 （1）若 AB AC 0
【备用】
r r r r
1.已知 | a | 3,| b | 4,| a b | 5
r r r r
，求 | a b |和向量 a, b 的夹角。
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r r r 2.已知 x a b
ur r r
， y 2a b
r r r r r ur
，且 | a | | b | 1， a b，求 x, y
的夹角的余弦。
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r r
1.已知 a (1,3),b ( 2, 1)
r r r r
，则 (3a 2b) (2 a 5b)
65 。
r r
4.已知两向量 a (3, 4), b (2, 1) r r
5.已知两向量 a (1,3),b (2, ) r r
变式： 若a ( , 2), b ( 3,5)
r r r r
，求当 a xb a b
与 垂直时的 x 的值。
r r ，a b
与 的夹角 为锐角，求 的范围。
r r ，a b
与 的夹角 为钝角，求 的取值范围。
选择、填空题的特别方法： 1.特例法
例：《全品》 P27：4。因为 M,N 在 AB,AC 上的随意地点都建立，因此取特别状况，即 M,N 与 B,C重合时，能够获得 m n 1， m n 2。 2.代入考证法
r r r
例：已知向量 a (1,1),b (1, 1), c ( 1, 2) r r r r r r r r 1 3 1 3 3 1 3 1 A. a b B. D.
a b C. a b a b
r
，则 c （ D ）
。
2 2 2 2 2 2 2 2
r r r r r r
变式： 已知 a (1,2), b ( 1,3), c ( 1,2) ，请用 a,b 表示 c
r r r
，则 ( 1,2) x (1,2) y( 1,3) 解：设c xa yb
即： ( 1,2) ( x,2 x) ( y,3 y) (x y,2 x 3y)
1 x y且2 2x 3y，即： x y 1且2x 3y 2
解得：
4 9
x ，y ，
5 5
r r r 4 9 c a b 5 5
uuur
3.清除法
例：已知 M 是 ABC的重心，则以下向量与 AB
共线的是（ D ）
uuuur uuur uuur A. AM MB BC
uuuur uu ur u uur u uur uu uuuur uu uur B.3AM AC ur uuuur
C.AB BC AC D. AM BM CM
共线，因此选 D。
u uur
解：察看前三个选项都不与 AB
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