2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ） A．①②
2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
B．②③
C．①③
D．②④
A． B．C． D．
3．直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（ ） A．
4．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（ ）
B．
C．
D．
A．以上四个图形都是正确的 C．只有（4）是错误的
B．只有（2）（4）是正确的
D．只有（1）（2）是正确的
5．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（ ）
A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、6、4 D．5、4、6
6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60°角； ④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）
A．
B． C． D．
8．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A．
B． C． D．
10．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ） A．b≤a≤c
11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．
B．
C．k≥2或
D．k≤2
B．a≤c≤b
C．c≤a≤b
D．c≤b≤a
12．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ） A．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 ．
B．
C．
D．
14．如图所示，正方体的棱长为2，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么M到截面ABCD的距离是 ．
15．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为 ．
16．已知△ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），直线l平行于AB，且BC于E、F， △CEF的面积是△CAB面积的，分别交AC、则直线l的方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分） 17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．
，AD=2，求
18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S．
19．（1）已知直线﹣1），求直线l的方程；
（2）已知直线l过点P（﹣2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．
20．如图，已知△ABC中A（﹣8，2），AB边上中线CE所在直线的方程为x+2y﹣5=0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x﹣5y+8=0，求直线BC的方程．
的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M（2，
21．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B （Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．
22．AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
2015-2016学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ） A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】综合题．
【分析】利用圆柱、圆锥、圆台的定义，母线的性质即可判断①②③④的正误得到正确选项．
①③【解答】解：根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的，可能是弦，所以选D 故选D
【点评】本题是基础题，考查旋转体的定义及其性质，考查空间想象能力，是易错题．
2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（ ）
A． B．C． D．
【考点】平面图形的直观图． 【专题】作图题．
【分析】由斜二测画法的规则可知：平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变即可选出答案．
【解答】解：设直观图中与x′轴和y′轴的交点分别为A′和B′， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的A和B点， 再由平行与x′轴的线在原图中平行于x轴，且长度不变， 作出原图可知选C 故选C
【点评】本题考查平面图形的直观图与原图的关系，属基础知识的考查．
3．直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知得△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′==B到AC的距离=
AB=
，B到平面AA′D的距离
a，由此能求出三棱锥A﹣A′BD的体积．
【解答】解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱， ∴AC⊥AA′，AA′∥CD，
∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，
∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=∴三棱锥A﹣A′BD的体积： V=
=
．
AB=
a， ，
故选：C．
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则（ ）
A．以上四个图形都是正确的 C．只有（4）是错误的
B．只有（2）（4）是正确的
D．只有（1）（2）是正确的
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】正三棱锥的棱长都相等，三棱锥的四个面到球心的距离应相等，所以圆心不可能在三棱锥的面上
【解答】解：（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如（1）图所示； （2）过三棱锥的一条棱和圆心所得截面如（2）图所示；
（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如（3）图所示； （4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以（4）是错误的． 故答案选C．
【点评】本题考查了三棱锥的截面图，综合了球的截面图，增加了难度，考查学生的空间想象力．从点线面入手，想一下 有没有可能．
5．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数字是（ ）
A．4、5、6 B．6、4、5 C．5、6、4 D．5、4、6 【考点】棱柱的结构特征． 【专题】常规题型．
【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的数字，即可求得结果．
【解答】解：第一个正方体已知1，2，3第二个正方体已知1，3，4 第三个正方体已知2，3，5且不同的面上写的数字各不相同， 则可知1对面标的是5，2对面标的是4，3对面标的是6 故选D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的数字问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，本题是一个基础题．
6．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60°角； ④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【考点】棱柱的结构特征． 【专题】作图题；压轴题．
【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题． 【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60° 正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确； 故选C．
【点评】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
OH，【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、则∠OEH为异面直线所成的角． 在△OEH中，OE=
，HE=
，OH=．
．
由余弦定理，可得cos∠OEH=故选B．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．
8．已知平面α，β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P作直线与α，β都成30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】过P作平面A垂直于α、β的交线l，并且交l于点0，连接PO，则PO垂直于l，过点P在A内做OP的垂线L'，以PO为轴在垂直于PO的平面内转动L'，根据三垂线定理可得有两条直线满足题意．以P点为轴在平面A内前后转动L'，根据三垂线定理可得也有两条直线满足题意．
【解答】解：首先给出下面两个结论 ①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
图1．
（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=80°
设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．
图2．
（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA=∠P2OB=50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时， OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条． 综上所述，直线的条数共有4条． 故选：D．
【点评】本题主要考查线面角，以及考查解决线面角的特殊方法的应用，考查空间想象能力，体现了转化的思想和运动变化的思想方法，此题是个难题．
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角． 【专题】计算题．
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1） ∴
=（﹣2，0，1），
，
＞═
=（﹣2，2，0），=
．
且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．
【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．
10．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ） A．b≤a≤c
B．a≤c≤b
C．c≤a≤b
D．c≤b≤a
【考点】平面与平面平行的性质．
【分析】此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．
【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．
而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于或等于c，判断a和b时， 因为B是n上任意一点，则a大于b． 故选D．
【点评】此题主要考查平面间与平面平行的性质．考查点到直线距离．
11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A．
B．
C．k≥2或
D．k≤2
【考点】直线的斜率．
【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，
结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤． 故选C．
【点评】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．
12．已知直线3x+2y﹣3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ） A．4
B．
C．
D．
【考点】两条平行直线间的距离． 【专题】直线与圆．
【分析】根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．
【解答】解：直线3x+2y﹣3=0即 6x+4y﹣6=0，根据它和6x+my+1=0互相平行，可得故m=4．
可得它们间的距离为 d=故选：D．
【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行线间的距离公式的应用，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
．
=
，
，
【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】综合题．
【分析】先有三视图得到几何体的形状及度量关系，利用棱锥的体积公式求出体积． 【解答】解：由三视图可得几何体是四棱锥V﹣ABCD， 其中面VCD⊥面ABCD；
底面ABCD是边长为20cm的正方形；棱锥的高是20cm 由棱锥的体积公式得V=
【点评】三视图是新增考点，根据三张图的关系，可知几何体是正方体的一部分，是一个四 棱锥．本题也可改编为求该几何体的外接球的表面积，则必须补全为正方体，增加了难度．
14．如图所示，正方体的棱长为2，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么M到截面ABCD的距离是
． =
=
cm3
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．
【分析】延长BC，AD与过M的正方体的竖直的棱的延长线交于F．取AB的中点E，连接ME，EF．过M做EF⊥MO，与EF交于O点，利用三角形的面积公式可求得答案．
【解答】解：延长BC，AD与过M的正方体的竖直的棱的延长线交于F．取AB的中点E，连接ME，EF．过M做EF⊥MO，与EF交于O点． 由题知，ME⊥AB．又因为AF=BF，AE=BE；所以AB⊥EF． 所以AB⊥面EMF．所以AB⊥MO．因为MO⊥EF，AB∩EF=O． 所以MO⊥面ABCD．
所以MO是M到面ABCD的距离． AM=2，推出ME=所以FM=4， 所以EF=3所以MO=故答案为：．
． =．
，故FE：FM=3
：4．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算．考查了学生对立体几何知识的理解和运用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
15．设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为 5
．
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），求出A′．可得|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．
【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线l：3x﹣4y+4=0的对称点为A′（a，b），
则，解得A′（3，﹣3）．
则|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=5故答案为：5
．
．
【点评】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知△ABC的顶点是A（﹣1，﹣1），B（3，1），C（1，6），直线l平行于AB，且BC于E、F， △CEF的面积是△CAB面积的，分别交AC、则直线l的方程为 x﹣2y+5=0 ．【考点】直线的一般式方程．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【分析】由平行和斜率公式易得直线EF的斜率为．再由面积易得E是CA的中点，可得点E的坐标，进而可得直线的点斜式方程，化为一般式即可． 【解答】解：由题意直线AB的斜率k=∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为． ∵△CEF的面积是△CAB面积的，
∴E是CA的中点，∴点E的坐标是（0，）． ∴直线EF的方程是 y﹣=x，即x﹣2y+5=0， 故答案为：x﹣2y+5=0．
【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及平行关系和中点公式，属基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其它题目每题12分） 17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．
，AD=2，求
=，
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【专题】计算题．
【分析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．
【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的 几何体，如右图：
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面 =πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1 ===
．
体积V=V圆台﹣V圆锥 = [25π+=×39π×4﹣×8π =
．
，体积为：
．
+4π]×4﹣×2π×2×2
所求表面积为：
【点评】本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．
18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S．
【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题．
【分析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可．
【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示． （1）几何体的体积为 V=•S矩形•h=×6×8×4=64．
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为： h1=
=5．
左、右侧面的底边上的高为： h2=
=4
．
故几何体的侧面面积为： S=2×（×8×5+×6×4=40+24
．
）
【点评】本题考查了学生的空间想象能力，图形确定后，本题就容易了，是中档题．
19．（1）已知直线﹣1），求直线l的方程；
（2）已知直线l过点P（﹣2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程．
【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．
【分析】（1）由斜率求出角的大小吗，由角的大小求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程；
（2）显然直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y﹣3=k（x+2），利用三角形的面积求出k的值，问题得以解决． 【解答】解：（1）直线∴tanα=∴α=30°， ∴β=2α=60°， ∴tanβ=
， ，
的倾斜角为α，
的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点M（2，
∵过点M（2，﹣1）， ∴直线l的方程为y+1=
（x﹣2），即
（2）显然直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0， 则l的方程为y﹣3=k（x+2），
当x=0时，y=2k+3，当y=0时，x=﹣﹣2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
即，解得：
所以直线l的方程为x+2y﹣4=0或9x+2y+12=0．
【点评】本题考查了直线方程的求法，点斜式是常用的方法，属于基础题．
20．如图，已知△ABC中A（﹣8，2），AB边上中线CE所在直线的方程为x+2y﹣5=0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x﹣5y+8=0，求直线BC的方程．
【考点】直线的两点式方程． 【专题】直线与圆．
【分析】根据条件分别求出点B和C的坐标即可得到结论． 【解答】解：∵AB边上中线CE所在直线的方程为x+2y﹣5=0， ∴当y=0时，x=5，即C点的坐标为（5，0）． 设B（a，b），则AB中点E的坐标为（
，
），
则，
解得，即B（6，4），
=
，
故所求直线BC的方程为即4x﹣y﹣20=0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，设出B的坐标，利用中线关系联立方程组是解决本题的关键．
21．如图，棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B （Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
（Ⅱ）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质． 【专题】作图题；证明题；综合题．
【分析】（Ⅰ）证明平面AB1C内的直线B1C垂直平面A1BC1，内的两条相交直线A1B，BC1，即可证明平面AB1C⊥平面A1BC1；
（Ⅱ）D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，BC1交B1C于点E，连接DE，E是BC1的中点，推出D为A1C1的中点，可得A1D：DC1的值． 【解答】（Ⅰ）证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1 又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B， 又B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C， 所以平面AB1C⊥平面A1BC1．
（Ⅱ）解：设BC1交B1C于点E，连接DE， 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE． 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点． 即A1D：DC1=1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
22．AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求． 【解答】证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1， 所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1． 由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1． 又BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点． 又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1． 故MN⊥平面A1BC．
（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D， 连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角． 设AC=BC=CC1=a，则C1D=
a，BC1=
a．
在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=
，
所以∠C1BD=30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
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