一次函数与反比例函数综合应用教案

一、教案内容

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果ykxb（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数ykxb中的b为0时，ykx（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数ykxb的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数ykx的图像是经过原点（0，0）的直线。 k的符b的符函数图像 图像特征 号 号 y 图像经过一、二、三象限，y随x的增大b>0 0 x 而增大。 k>0 y 图像经过一、三、四象限，y随x的增大b<0 0 x 而增大。 y 图像经过一、二、四象限，y随x的b>0 增大而减小 0 x K<0 y 图像经过二、三、四象限，y随x的b<0 增大而减小。 0 x

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 3、一次函数的性质 一般地，一次函数ykxb有下列性质： （1）当k>0时，y随x的增大而增大 （2）当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 1、反比例函数的概念

k一般地，函数y（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写

x成ykx1的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质 k反比例y(k0) 函数 xk的符k>0 k<0 号 y y 图像 O O x x ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 性质 4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数yk中，只有一个待定系数，因x

此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k如下图，过反比例函数y(k0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得

x的矩形PMON的面积S=PMPN=yxxy。

yk,xyk,Sk。 xx例1．已知一次函数y=x+m与反比例函数y=m1的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）． （1）求x0的值；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

二、练习

1．如图，点A是直线y2x与曲线

ym1x（m为常数）一支的交点．过

点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB=2．求点A的坐标及m的值．

2． 已知反比例函数y

k

的图象经过点A，若一次函数yx x

的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(4,m)， （1）试确定反比例函数和m的值； （2）平移后的一次函数的表达式；

（3）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例

函数的值大于一次函数的值？

17题图

k(x0)的图象相交于点A和点B，与xx轴交于点C，其中A点的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的解析式； （2）求AOC的面积。

3．已知：如图，直线ykxb与反比例函数y94．如图，将直线y4x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A（,0），与双曲

4ky （x0）交于点B．

x（1）求直线AB的解析式； 6 （2）若点B的纵坐标为m， 求k的值（用含m的代数式表示）． 线y

-2 4 2 A 2 4 6 O -2 -4 -6 -8 x

三、检测

一、选择题

1．在反比例函数y=2的图象上的一个点的坐标是（ ）

xA．（2，1） B．（-2，1） C．（2，1） D．（1，2）

222．函数y=（a-1）xa是反比例函数，则此函数图象位于（ ）

A．第一、三象限； B．第二、四象限； C．第一、四象限； D．第二、三象限

3．已知正比例函数y=（3k-1）x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）

11 A．k<0 B．k>0 C．k< D．k>

334．直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（ ）个 A．4 B．5 C．7 D．8

5．在函数y=k（k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知

xx1A．y1A．一次函数不一定是正比例函数 B．不是一次函数就一定不是正比例函数 C．正比例函数是特殊的一次函数 D．不是正比例函数就一定不是一次函数

7．在同一平面直角坐标系中，对于函数①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ）

A．通过点（-1，0）的是①③ B．交点在y轴上的是②④ C．相互平行的是①③ D．关于x轴对称的是②④ 8．在直线y=1x+1上，到x轴或y轴的距离为1的点有（ ）个

22 A．1 B．2 C．3 D．4

9．无论m、n为何实数，直线y=-3x+1与y=mx+n的交点不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（ ）