浅谈二项展开式中的系数最大项

浅谈二项展开式中的系数最大项

作者：史保军

来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期

一、问题的起源

二项展开式中系数最大项肯定是存在的.求其系数最大项的问题，在现行的高中数学教材中没有涉及.但是在高中数学辅导书中类似的题目经常出现，每一本参考书给出的解法都是相同的.

例 求(3x+2x)

10展开式中系数最大项.

r+1=C20-5r6r-1r+1C

Cr-1r10. r-1

10 10 (3x)

10-

解：设系数最大项为Tr(2x)r=2

rC

r10x

≥2

则22Cr10 2rCr10

≥2

解得193≤r≤223. 又r∈N ∴r=7

∴展开式中系数最大项是第8项.T8=2

7C710x

-52

.

*,

我一直用以上的方法讲述类似的问题，谁也没有提出任何疑问.今年我教的这个班级学生基础较好.在讲类似的题目时，我就让同学们体会一下这个方法.一会儿，同学们就向我发问： 1.这个方法一定能求出系数的最大项吗？因为二项展开式中，系数最大项肯定存在.如果系数最大项是第一项或最后一项时，这个方法是不是就失效了呢？ 2.系数最大项会是第一或最后一项吗？ 3.这个解法会不会求出不相邻的多个r呢？ 带着这些问题，我进行了深入的思考. 二、思考过程

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1.从求解方法入手.把求二项展开式系数最大项的方法叫“夹逼法”.这个方法如果正确的话，展开式的系数应该具有单调性，即(ax+by)n(a>0,b>0,a≠b,n∈N+)的展开式系数应该具有单调性.

2．类比联想.二项展开式中，二项式系数具有单调性，那么系数具有单调性吗？ 三、探究过程

在(ax+by)n(a>0,b>0,n∈N*,n≥2)的展开式中，

各项系数f(r)=Crnan-rbr，r∈{0,1,2…n}．

∵f(r)=Crnan-rbr, ∴f(r+1)=Cr+1nan-r-1

br+1,r∈{0,1,2…n-1}． ∴f(r+1)f(r)=C

r+1na

n-r-1

b

r+1Crna

n-r 令f(r+1)f(r)≥1,即(n-r)b(r+1)a≥1． 得r≤nb-aa+b=n-(n+1)aa+b．

同理令f(r+1)f(r)≤1,即(n-r)b(r+1)a≤1． 得r≥nb-aa+b=n-(n+1)aa+b． 当nb-aa+b∈Z时，有nb-aa+b∈N. f(r)=C

rna

n-rb

r．

在0,1,2,…,nb-aa+b+1上是递增，在 nb-aa+b,nb-aa+b+1,…,n 上递减.

此时有两项的系数最大，即f(r),f(r+1)最大， 若r=0,即ab=n时，第一、第二项系数最大， 若r=n-1，即ba=n时，最后两项的系数最大.

b

r=(n-r)b(r+1)a.

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当nb-aa+b∈Z时，nb-aa+b+1∈{0,1,2，…，n-1}. f(r)=C

rna

n-rb

r

在0,1,2,…,nb-aa+b+1 上是递增，在 nb-aa+b+1,…,n 上递减.

此时有一项的系数最大，即f(r). 若r=0,即n 若r=n，即n 四、反思

1.回答了同学们的提问.因为(ax+by)n(a>0,b>0,a≠,n∈N最后一项.并且最大项要么是相邻的两项，要么是一项.

2.通过思考，我有信心上好这节课.更重要的是我充分理解了“夹逼法”求展开式系数最大项的本质.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

*,n≥2)展开式中，系数具有单调

性，所以“夹逼法”一定能准确地求出系数的最大项.展开式中系数的最大项完全有可能是第一或