采样控制系统仿真

采样控制系统(或称数字控制系统)是这样一类控制系统：它首先要对受控对象(过程)的有关信号进行采样，通过输入通道(A/D)把模拟信量转换成数字量，然后将它送给数字控制器或计算机；数字控制器或计算机根据输入的数字信息，按预定的控制规律进行计算；最后将计算结果通过输出通道(D/A)转换成模拟量以控制被控对象，使被控量达到预期指标要求。这类系统既具有连续系统特征（如受控对象），也具有离散系统的特征（如数字控制器）。然而，从数字仿真的建模方法学角度来看，虽然这类系统有它自身的特点，但它与连续系统没有本质的区别，因而一般将其归类为连续系统仿真。

5.1 采样控制系统的基本结构

图5.1表示了典型采样控制系统结构。一个典型的采样控制系统由以下几部分组成：

（1〕 连续的被控对象或被控过程； （2〕 离散的数字控制器； （3〕 采样开关或模数转换器； （4〕 数模转换器或信号重构器。

x(t) +

将图5.1所示的采样控制系统与图3.1所示离散相似法所得到的系统进行比较，则不难看到，两者的结构是相近的，其被控对象均是连续的，系统中均有采样器和保持器，因此离散相似法可以很方便地用于采样控制系统的仿真。

那么，采样系统仿真具有哪些特点呢？

首先，在对连续系统进行离散化时，其采样开关是虚拟的，即其采样间隔、采样器所处位置及保持器的类型是用户根据仿真精度和仿真速度的要求加以确定的。一般来说，在连续系统仿真时，仿真所用的离散化模型中的虚拟采样间隔 (即仿真步距) 对整个系统来说是唯一的，且是同步的。而采样控制系统的不同，其采样周期、采样器所处位置及保持器的类型则是实际存在的。因此，在对采样控制系统进行仿真时，连续部分离散化模型中的仿真步距与实际采样周期可能相同，也可能不同。对于给定的采样控制系统，首先必须解决的是：如何来确定仿真步距？

众所周知，对一个连续模型来讲，不同的仿真步距得到的差分模型不同，其仿真精度也不同。因此仿真步距的选择与仿真方法的选择是紧密相连的。或者说，为实现一定精度与一定速度的仿真计算，仿真步距与方法的选择必须兼顾考虑。由于实际系统分为离散和连续两部分，从而得到的差分模型也分为两部分，如何处理这两部分模型之间的联系是采样控制系统仿真中的特点。因此，第二个必须解决的问题是：如何来处理在不同采样间隔下的差分模型。

图5.1 采样控制系统框图

- A/D 采样器 数字 控制器 A/D （信号 重构器） 被控对象 y(t) 91

5.2采样周期与仿真步距

我们规定Ts为采样周期，T为仿真步距。对于图5.1所示的典型采样控制系统，可用图5.2所示的结构图来表示。

- X(s) + E(s) Ts E*(s) D(z) U(z) Ts U*(s) D(z) U(s) Y(s) D(z) 图5.2采样控制系统方块图

其中G(S)为被控对象的传递函数，H(S)为信号重构器的传递函数，D(Z)为数字控制器的Z传递函数，Ts是采样控制系统中实际的采样周期，X(S)为输入信号，Y(S)为输出信号。

对图5.2所示的采样系统进行仿真，仿真步距的选择必须根据被控对象的结构、采样周期的大小、信号保持器的类型以及仿真精度和仿真速度的要求来综合考虑。一般来说，往往有三种情况：

（1） 采样周期Ts与仿真步距T相等； （2） 仿真步距T小于采样周期Ts； （3） 改变数字控制器的采样间隔Ts。 下面就每一种情况分别进行讨论。

1、 采样周期Ts与仿真步距相等

如果选择仿真步距与采样周期相同，那么在对系统进行仿真时，实际采样开关与虚拟的采样开关在整个系统中均是同步工作的。因此这种仿真与连续仿真完全相同，从而可大大简化仿真模型，缩短仿真程序，提高仿真速度。

在什么情况下可考虑仿真步距T与采样周期Ts相等呢？

如果实际系统中的采样周期Ts比较小，系统的阶次比较低，取T=Ts可满足仿真精度的要求时，当然应该尽可能选择两者相等。

在对系统中连续部分进行离散化时，虚拟采样开关及信号重构器的数目应尽量少，因为虚拟采样开关及信号重构器对信号幅度和相位引起畸变和延迟，从而带来误差。因此，在选择续部分入口加采样器和信号重构器，即将实际系统中的采样器和信号重构器与虚拟的采样信号重构器统一起来，而连续部分H(s)G(s)内部不再增加虚拟采样开关和信号重构器。这样在建立连续部分的差分模型时，应计算ZH(s)G(s)=G(z)，得到仿真模型如图5.3所示。

众所周知，当系统的阶次较高时，ZHsGs往往是不易求取的，因此另一种方法是将被控连续对象变成状态空间表达式的形式，即

X(s) X(z) + T=Ts - z

-1D(z) G (z) Y( z )  xtAxtBut

其中ut为信号重构器Hs的

输出信号。其离散的状态空间表

图5.3 T=Ts时仿真模型

92

达式为：

xk1TseATSxkTTsk1TskTseAk1TsBukd

特别是当Hs为零阶信号重构器时，可得：

xk1TseATSxkTeAdukTsTsxkTsmTsukTs

0仿真精度，在对HsGs离散化时，必须采取补偿措施以减少因仿真步距过大而引起的误差。

2、仿真步距T小于采样间隔Ts

在某些采样控制系统中，Ts比较大，选择TTs可能会引起较大的误差。此时，为保证

这是采样控制系统仿真中最常见的情况。一般说来，采样间隔Ts是根据系统频带宽度及实际采样开关硬件的性能和实现数字控制器计算程序的执行时间长短来确定的。由于种种原因（如控制算法比较复杂，数字控制器完成所要求的控制算法需要较长的时间等等），采样间隔Ts比较大，但系统中连续部分若按采样间隔选择仿真步距T，将出现较大的误差，因此有必要使TTs。

另外，当系统中连续部分存在非线性时，正如离散相似法所考虑的那样，为了便于仿真程序处理，需要将系统分成若干部分分别建立差分模型。此时，就要在各部分的入口设置虚拟采样器及保持器，而每增设一对虚拟采样器和保持器都将引入幅值和相位的误差。为了保证仿真计算有足够的精度，必须缩小仿真步距T，因此也有必要使TTs。

此时，系统仿真模型中将会有两种频率的采样开关：离散部分的采样周期Ts，连续部分的仿真步距T。为了便于仿真程序的实现，一般取Ts＝NT，其中N为正整数。

对这一类仿真系统，要分两部分分别进行仿真计算，对离散部分用采样周期Ts进行仿真，对连续部分用仿真步距T进行仿真。离散部分每计算一次差分模型，将其输出按保持器的要求保持，然后对连续部分的仿真模型计算N次，将第N次计算的结果作为连续部分该采样周期的输出。此时，仿真程序的结构如图5.4所示。

图5.4 采样控制系统程序框图 停止计算 否 t 仿真计算结束否输入系统参数及仿真参数包括T,Ts s 计算离散部分 （数字控制器）差分模型 计算连续部分 （受控对象）差分模型 到 N 次否 是 输出第 N 次结果 否 是 系统中存在不同频率的采样开关的另一种情况是：采样系统中有多个回路，且每个回路的采样周期不同。一般内回路的采样周期比较小，而外回路的采样周期比较大。

例如数字控制的双环调速系统，其内环(电流环)反应速度较快，电流控制器的采样频率比较高，而外环(速度环)变化比较缓慢，因而速度调节器的采样频率比较低。同时这个回路

93

校正运算比较复杂，运算时间较长，也要求采样周期长些。

又如 “智能汽车”的自动驾驶系统有内外两个反馈回路，一是驾驶盘执行转角的局部反馈，另一个是汽车位置的偏差反馈。前者由于执行机构固有频率高，显然要求采样周期较短；而后者允许采样周期较长，因为整个汽车动态特性频带较窄。这一类系统的典型结构如图5.5。 u + - e 1 T1s D1(z) T1s H1(s) + - T2s D2(z) T2s x1 H2(s) G2(s) G1(s) x2 图5.5 双回路采样控制系统 图中D1z1,D2z2分别是外环和内环的数字控制器的Z传递函数。由于是分别对采样周期T1s和T2s进行Z变换，故取不同的算子z1，z2以示区别。H1s和H2s分别为外环和内环的保持器。

若G1s，G2s为线性定常系统，并且设T1snT2s（其中n为正整数），那么，对这类系统进行仿真时，可按内外环路分别取仿真步距进行仿真。此时，若G1s，G2s不太复杂，可取仿真步距与采样周期相等，即：T1T1s，T2T2s。

进行Z变换，那么就需要在G1s、G2s中加进若干个虚拟采样开关和保持器。为保证仿真精度，仿真步距应小于采样周期，即：T1应小于T1s，T2应小于T2s，且令：T11N如果G1s，或者系统中存在非线性环节，无法对H2sG2s和G1sG2s比较复杂，

T1s，

T21MT2s，其中N，M为二个常数。系统仿真的过程应该是：首先对D1z1按采样周期

T1s进行仿真，将其输出经H1(s)，保持T1s时间，然后进行内环仿真。

在进行内环仿真时，首先对D2z2按采样周期T2s进行仿真计算，其输出经H2s保持T1s时间；在T2s时间间隔内对G2s按仿真步距T2进行计算，计算M次后，将第M次计算结果做为经T2s采样周期后内环的输出。

此时的输出一方面经反馈的回路与H1s的输出进行比较后送给D2z2以进行下一个

T2s的D2z2计算；同时，此输出加到G1s上。为便于仿真程序处理，可选择N＝n，即外

环仿真步距T1与内环的采样间隔T2s相等，因而还需要对G1s按T1T1s进行仿真计算。这种处理的方法实质上是将内环看成是G1s的一部分，对该部分按T2进行仿真，也就是系统中有不同的仿真步距。

当内环及G1(s)进行N次仿真计算后将第n次仿真计算结果进行输出，并经反馈回路与输入信号u(s)进行比较后送入D1(z1)，再进行下一个采样间隔T1s的仿真计算。

其仿真程序的框图如图5.6。

94

5.3 不同采样周期差分模型的转换

对原有的数字控制器的差分模型进行修改，如何确定在新的采样间隔下数字控制器的差分模型呢？

确定差分模型原则：两个脉冲传递函数映射到S平面上具有相同的零极点，并且有相同的稳态值，则两个系统是等价的。

 原采样系统传递函数Dz，其采样间隔为Ts

 首先将Dz映射到S平面上，求得Dz在S平面上相应的零极点。  按新的采样间隔Ts'再映射到Z平面上，求得新的Z传递函数Dz。  根据稳态增益相等这一原则确定Dz的增益因子。

'例：一数字控制器的z传递函数为 Dz2.62z0.98

z0.64oDz在Z平面上的极点zop0.64，零点zz0.98，将它们映射到S平面上可得：

Sp11lnzoln0.6411.16 pTs0.0411oSzlnzzln0.980.505

Ts0.04Ts'＝0.1s时，将sp,sz再映射到Z平面上可得：

z'peTssp'e'0.111.160.3277 zze'Tssz'e0.10.5050.9508

Dzk''zz0.9508

z0.3277根据稳态值相等的原则确定kz：必须要求非零稳态值相等。

Dz在单位阶跃信号作用下有稳态值，根据终值定理：

ulimD'z在单位阶跃信号作用下也应有同样的终值，即：

z0.9508limkz'0.14556z1 z0.3277kz'1.989

zz0.98zz1z1Dzlim2.62z1 =0.14556 z1zz1zz0.64z1Dz1.989z0.9508z0.3277

5.4 纯延迟环节的仿真模型

设纯延迟环节如图5.7所示，传递函数为

Gsyses us 95

其中ys与us分别为该环节的输出、输入拉普拉斯变换，τ为延迟时间。设仿真步距为T，且

TC0C2

u(s) 式中C0为整数部分；C2为小数部分，则有 Gse取Gs的Z变换得： GZC0C2TSe-τs y(s)

图5.7 纯延迟环节

yZZC0C2

uZ若将GZ反变换，可得差分方程如下：

ykukC0C2 (5.1) 下面说明基于(5.1)模型的仿真方法，先假设比较简单的情况，即C20，也就是延迟时间为仿真步距T的整数倍，所以得到，

ykukC0 (5.2) (5.2)式所示模型在仿真程序中需这样处理，即开辟C0＋L个内存单元预先存放uk及以前时刻的值。设内存单元为

M1M2MC0MC01 ukC0ukC01uk1uk将当前计算出来的uk存放在C0＋1号单元，而yk则从第1号单元去取。其步骤是： （1） 当前计算出来的uk存入M(C0＋1)； （2） 从M(1)取出ukC0，即为yk；

（3） 为计算下一步，需把各内存单元中的数据按单元号减少方向依次传递即

M2M1，M3M2，„，MC01MC0；

（4） 返回（1）。

所以，每仿真一次进行一次同样的操作，总是按“存入－取出－平移”的顺序由程序实现延迟C0T的功能。

如果数字控制器和被控对象中均含有纯延迟环节，且采样周期Ts与仿真步距T不等，除了各自开辟一个数据区外，还必须按各自步距进行数据处理。

如果C20则因C0C0C2C01，所以，yk的值应在ukC0和

yk1C2ukC0C2ukC01 (5.3)

因此，当C20时，还需增设内存单元用于存放ukC01，则此时需有C0＋2个内存单元，其中分别存放以下数据：

ukC01两个数值之间，一般是利用以下线性插补公式来求得yk，即：

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M0M1MC0MC01ukC01ukC0uk1uk

其步骤是：

（1） 当前计算出来的uk存入M(C0＋1)； （3） 将C0＋2个单元顺序平移一次； （4） 返回（1）。

（2） 取值，根据式5.3所示线性插补公式，从M(0)和M(1)号计算yk；

5.5 采样控制系统仿真举例

本节将通过一个实例，讨论采样控制系统仿真时的一些特点及处理方法。设采样控制系统的结构如图5.8所示。其中被控对象为一阶惯性加纯延迟Gsk0es，采用零 阶

T0s11es保持器Ghs，Ts为采样周期。现需要设计数字控制器，使该系统在单位阶跃信

s号作用下为最小拍系统。

根据最小拍系统的设计思想，该系统在单位阶跃函数作用下，闭环传递函数为： Wbzz1 其中Ts，并设β为整数。又由于

R+-TsX1(z)D(z)X*2(s)Ts1eTsssK0seT0s1X2(s) 图5.8 具有纯延迟的控制系统框图

k01eTsses WsGhsGs

sT0s1k01eTssesk01eTsseTssWsZ WzZZ

sTs1sTs100 k01eTsT0从而可得数字控制器Dz的Z传递函数为：

z1

1eTsT0z1 97

WbzX1z1eTsT0z1 Dz TsT01Ez1WbzWzk01e1z取Z反变换，并写成差分方程的形式： x1k1x1k11若记eTsT01ek1eTsT0ek TsT0k01e，可简写如下：

x1k1x1k这是一个β阶的差分方程。

1ek1ek

k01对本系统进行仿真时，应分两部分进行，这是因为仿真步距T并不一定与Ts相等（Ts为采样间隔）。对离散的数字控制器部分每隔一次采样间隔Ts应计算一次，而在采样间隔之间，要根据信号重构器的特征加以重构。信号重构器的输出为连续部分的输入。对连续部分，为使仿真精度得到保证，取Ts＝NT，N>1，且一般为整数，以保证两种采样开关同步。连续部分每隔时间T计算一次，计算N次后，其输出x2k才能用来与R(k)进行比较以输入给Dz。在连续部分计算N次以内，其输入由保持器的输出提供，而保持器的输入则保持不变。特别是，当采用零阶保持器时，在NT内均保持不变。

另外，由于本系统被控对象存在纯延迟环节，该环节可视为位于惯性环节输出之后，也可视为惯性环节输入之前，仿真时可灵活考虑。现考虑纯延迟环节置于惯性环节之前，那么保持器的输出经延迟β个采样周期后才输入到惯性环节。即：

Ck1uk1 此时惯性环节的差分方程为

n x2k1eTT0nkk01eTT0cnk x2说明：

1) 本差分模型中未考虑控制量ck的变化。这是因为零阶保持器的原因。

2) 差分模型中上标n表示第n个采样周期，而k表示在第n个采样间隔 内的第k次计算

(k=1,2,„,N)。从而该采样控制系统仿真程序框图如图5.9所示。利用该仿真程序，当

T01s，k01，Ts0.5s，1s时，取仿真步距T＝0.05s，R＝10*1(t)，仿真结果

如表5.1所示。

由于Ts10.52，系统应该在第三个采样周期完成，达到稳定。仿真结果证明了这一点。

从控制系统理论可知，按最小拍设计的系统适应性差，对参数变化的敏感性大，输出存在纹波。仿真结果也很好地证明了这一点。例如，当被控系统中的参数k0变化到k1时，若 数字控制器中结构和参数保持不变，即

1az1 Dz1k01a1z 98

其中k0为原设计时被控对象的放大倍数。

若k1若k1>k0，系统虽无超调，但不是最小拍系统，过渡过程也加长。 以上情况的仿真结果如图5.10所示。表5.1 采样周期Ts0.5s仿真结果

t x1 x2 0 25.4149 0 0.25 25.4149 0 0.50 10 0 0.75 10 0 1.0 10 0 1.25 10 5.6217 1.5 10 10 1.75 10 10 2.0 10 10 2.5 10 10 2.5 10 10

正因为最小拍系统有上述缺点，这种方

法很少直接使用到工程上。但是最小拍系统的设计思想仍然在许多设计方法中得到应用。

图5.10 参数变化对最小拍系统的影响

输入采样间隔Ts，延迟时间常数，仿真计算步距T，总时间Tζ输入给定信号R及x1 ,x2的初始值将存放x1 ,u过去数值单元赋值计算数字控制器差分模型x1k1x1k 1K1aek1aek0将存放x1 ,u过去数值的单元重新赋值计算被控对象的差分模型xn2k1eTT0xn2kKTT0n01eCkekRx2k t=t+T否 k=Nt=t+Tk=N？是xn2kx2k t=Tt ？否是 停止计算图5.9 最小拍系统仿真程序框图99

习 题

1TiSTdTiS2us1、 已知Ds为P.I.D调节器传递函数，Ds其中Ti为积分KpesTiS时间常数；Td为微分时间常数；Kp为比例系数。求该调节器的差分方程。

KvKp(1z1)2、 已知采样系统如下图，其中 D(z)= ，状态方程：

1z110xx120x111u，输出方程：y=x2。若采用步长T对连续部分仿真，且

1x02 Ts=LT（L为正整数），试求连续部分的差分模型，试画出整个系统的仿真程序流程图。

参考文献

[1]冯康等编著，《数值计算方法》，国防工业出版社，1978年。

[2]G.A.科恩，J.V.韦特著，李仰东译，《连续系统数字仿真》，科学出版社，1981年。 [3]Joun Smith，《Mathematical Modeling and Digital Simulation for Engineers and Scientists》，

John Wiley Sons. INS.，1977年

图5.11 习题2所示系统的模型

r(t) T + - D(z) 1eTsss Ts XAXBu。y 100