蒙特卡罗方法在一些确定性数学问题中的应用

洪志敏;李强;郝慧

【摘 要】论文讨论了数学中常见的定积分、级数以及方程组问题的蒙特卡罗计算方法。通过建立概率统计模型、抽样产生随机样本进而获得确定性问题的蒙特卡罗方法估计值。三个数值算例直观展现了蒙特卡罗方法处理问题的一般思路，为该方法在复杂问题中的应用提供了简单明了的参考。%Abstrct:In this paper ,Monte Carlo method is discussed and used to deal with some mathematical problems about common definite integrals ,series and system of equations .Estimated values based on Monte Carlo method can be achieved by constructing probability and statistics models and sampling for random samples . Intuitively , three numerical examples are solved to indicate the general ideas of Monte Carlo method .These provide some simple and explicit references for applying this method to complex problems .

【期刊名称】《内蒙古工业大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2016(035)002 【总页数】4页(P99-102)

【关键词】蒙特卡罗方法;随机样本;定积分;常数项级数;方程组 【作 者】洪志敏;李强;郝慧

【作者单位】内蒙古工业大学理学院，呼和浩特010051;内蒙古工业大学理学院，呼和浩特010051;内蒙古工业大学理学院，呼和浩特010051

【正文语种】中 文 【中图分类】O212;O242

随着科技的快速发展，我们的生活已进入离不开数据的信息时代，而统计是处理分析数据的重要数学工具。现在的很多高校都已扩展了概率论与数理统计课程的开设专业，如何使这门课程成为学以致用的工具是授课教师时时思考的问题，也是学生关注的重点。蒙特卡罗方法的起源可追溯到18世纪，法国数学家蒲丰为验证大数定律，提出用随机投针实验估计圆周率。尽管实验结果的精度不高，但它却演示了蒙特卡罗方法的随机抽样和统计估计的模拟思想。蒙特卡罗方法的开创者是乌拉姆、冯·诺伊曼和梅特罗波利斯，他们为核武器的研制在计算机上实现中子在原子弹内扩散和增殖的蒙特卡罗模拟[1]。目前，已有很多文献介绍蒙特卡罗方法在积分以及高维积分求解上的应用[2-8]，这些文献多从蒙特卡罗积分计算的基本理论出发，讨论各种降低蒙特卡罗方差的基本技巧在积分计算中的使用。本文以普通高校大学生在学习概率统计知识时所遇到的困惑为出发点，以蒙特卡罗方法为纽带，将概率统计知识与学生所熟知的定积分、无穷级数以及线性方程组连接起来，这不仅激发了学生的好奇心与兴趣，促进其对概率统计知识的理解与掌握，而且也锻炼了学生应用概率统计思想解决问题的能力。

蒙特卡罗方法的基本思想是：根据待求问题的变化规律，随机现象本身的统计规律，或者根据问题描述构造概率模型，依据该模型进行大量统计试验，使得模型的某些特征参数恰好是待求问题的解。

这一节从定积分的定义和概率统计模型的建立两方面出发，阐明概率统计思想在积分求解中的应用。

在讲授定积分时，通过分割、求和、取极限三个步骤求解曲边梯形的面积引出了定积分的概念。设区间为[a,b]，曲边为f(x)(≥0)， 面积可表示为

其中极限值与ξi的取法和区间[a,b]的分法无关。由于受计算难度和计算量的限制，利用定义求定积分的值时，常对区间[a,b]做等步长分割，ξi取为区间的端点或区间中点。因此，定积分定义中有关ξi取法与积分区间划分的任意性的验证是不可能手动实现的。本文通过概率统计知识对定积分定义中的两个任意性进行验证，具体步骤如下：

①在[a,b]内按均匀分布任取n-1个随机数，按序排列x1②在每个随机的小区间上任取一均匀分布随机数作为ξi∈[xi-1,xi]，i=1,2,…,n 其中x0=a,xn=b；

③计算每个小区间对应的乘积f(ξi)(xi-xi-1)，再求和，所得结果即为定积分A的近似值。

上述是利用随机数的任意性诠释了定积分概念中区间分法和点的取法的任意性，通过计算机语言很容易实现上述验证过程。

对于要求解的定积分(1)，可根据随机变量数学期望的概念建立如下概率模型 其中p(x)是定义在区间[a,b]上的概率密度函数，X是服从分布p(x)的随机变量。根据大数定律和参数的矩估计法，设依据概率密度p(x)独立抽取N个随机样本x1,x2,…,xN，则可以给出A的一个矩估计

为简单起见，若取p(x)为有限区间[a,b]上的均匀分布，则(3)可表示为 式(4)恰好是定积分定义中对积分区间[a,b]作N等分的黎曼和。 上述在定积分计算中建立概率模型的具体步骤如下： ①在[0,1]上独立抽取N个均匀分布随机数u1,u2,…,uN；

②计算xi=a+ui(b-a)，则xi是在区间[a,b]上服从均匀分布随机样本值，计算f(xi)； ③利用(4)式求得定积分A的估计值。

利用定理可判断无穷级数的敛散性，但对于收敛的无穷级数其收敛的和往往较难求

出。通常情况下利用级数的前N项和作近似计算。本节将介绍无穷级数的统计计算方法。对于常数项无穷级数 建立如下概率模型

其中pi=P(X=i)为离散型随机变量X的分布律，且满足pi=1。由参数估计理论和大数定律，若可独立抽取服从分布pi的N个随机样本xi,x2,…,xN，则可给出无穷级数的收敛和S的估计

利用蒙特卡罗方法近似求解无穷级数的收敛和步骤如下： ①独立抽取N个服从分布pi的离散型随机样本x1,x2,…,xN； ②计算；

③利用(7)对S进行估计。 对于存在唯一解的线性方程组

其中A={aij}n×n是满秩系数矩阵，y=(y1,y2,…,yn)T是未知的解向量，b=(b1,b2,…,bn)T是已知常数向量。在一定条件下可建立(8)式的迭代求解形式 这里L=I-A为迭代矩阵，且满足|lij|<1,i=1,2,…,n，I是n阶单位矩阵，则根据迭代法收敛的充分条件知迭代格式(8)是收敛的。y(k)表示方程组的第k(k≥1)次迭代解。欲求y(k)的第i个分量，i=1,2,…,n，可建立如下概率模型： 这里pij=P(X=j)(j=1,2,…,n)是离散型随机变量X的分布律，对于任意的

i(i=1,2,…,n)值，满足设x1,x2,…,xN是来自于pij的独立随机样本值，则由参数估计理论可得的一个估计

同样为简单起见，对应每一个i值，选pij为离散型均匀分布，即pij=1/n，j=1,2,…,n。则估计(11)可表示为

取初始迭代解(0)=b。利用蒙特卡罗方法近似求解线性方程组的第k次迭代解步骤如下：

①依据分布pij独立抽取N个离散型随机样本x1,x2,…,xN；

②计算；

③利用(12)对进行估计。

这一节给出几个例子，通过蒙特卡罗方法实现数值求解，更为直观地解释概率统计思想在解决问题中的应用，进而加深理解。 例1 计算定积分。

取N=10000，对应于不同的密度函数p(x)，模拟100次的平均结果列于表1。表1中的第1列为定积分定义中取点和区间分法两个任意性的验证结果，第2列为来自均匀分布随机样本的模拟结果，第3列为来自参数分别为α=0.2,β=0.7的贝塔分布随机样本的模拟结果。选择贝塔分布作为随机样本的概率分布体现了蒙特卡罗方法的重要性抽样思想。由模拟结果可见依据贝塔分布产生的随机样本较服从均匀分布的样本计算结果更准确，因为参数为α=0.2,β=0.7的贝塔分布的形状更接近被积函数在区间[0,2]上的形状。 例2 计算无穷级数的收敛和。

取随机样本数为N=10000，选几何分布pi=p(1-p)i-1，i=1,2,…作为随机样本的概率分布，对应不同的参数p，模拟100次的平均结果列于表2。从表2中可见，参数p取值越小，模拟100结果越接近真实值。这是因为具有较小p值的几何分布的性质与无穷级数的通项的性质更接近。这也是重要性抽样的思想。 例3 求解线性方程组

取初始迭代解为(0)=(0.5,0.2,0.3)T，随机样本数为N=10000，对于每一个i(i=1,2,3)，选pij为离散型均匀分布，则不同迭代次数，模拟100次的平均结果列于表3。结果显示增加迭代次数可提高模拟结果精度。

本文以常见的定积分、无穷级数以及线性方程组的求解问题作为出发点，讨论了蒙特卡罗方法在这些问题上的简单应用，为该方法的进一步应用提供了参考，如，讨论蒙特卡罗方法处理这些问题时的模拟方差缩减问题；讨论微分方程的蒙特卡罗模

拟求解方法。所做的数值实验可通过MATLAB或R语言编程实现。

【相关文献】

[1] 康崇禄.蒙特卡罗方法理论和应用[M].北京:科学出版社,2015.

[2] 杨自强.你也需要蒙特卡罗方法-提高应用水平的若干技巧[J].数理统计与管理,2007,27(2):365～376.

[3] 何凤霞,张翠莲.蒙特卡罗方法的应用及算例[J].华北电力大学学报,2005,32(3):110～112. [4] 任明慧,刘丽芳,梅汉飞.多重积分的蒙特卡罗算法编程[J].湖南文理学院学报(自然科学版),2011,23(4):1～2.

[5] 郑华盛,胡结梅,李曦等.高维数值积分的蒙特卡罗方法[J].南昌航空大学学报(自然科学版),2009,23(2):37～41.

[6] 柴中林,银俊成.蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论[J].应用数学与计算数学学报,2008,22(1):125～128.

[7] 孙维君,秦华.蒙特卡罗方法在三重积分中的应用[J].山东理工大学学报(自然科学版),2008,22(1):60～63.

[8] 刘长虹,关永亮,寿卓佳,陈聪.蒙特卡洛法在数值积分上的应用[J].上海工程技术大学学报,2010,24(1):43～46.

Abstrct: In this paper, Monte Carlo method is discussed and used to deal with some mathematical problems about common definite integrals, series and system of equations. Estimated values based on Monte Carlo method can be achieved by constructing probability and statistics models and sampling for random samples. Intuitively, three numerical examples are solved to indicate the general ideas of Monte Carlo method. These provide some simple and explicit references for applying this method to complex problems.