高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
选择填空题专练(一) (见学生用书P149)
一、选择题
1．已知集合a＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|0 1－x 题p2：函数y＝ln 是奇函数，则下列命题是假命题的是( ) 1＋x A．p1∧p2 B．p1∨(綈p2) C．p1∨p2 D．p1∧(綈p2) 解析：由偶函数的定义易知命题p1为真命题， 对于命题p2，由于 1－x1＋x f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0， 1＋x1－x 即－f(x)＝f(－x)， 故函数在其定义域内为奇函数， 因此命题p2为真命题， 则p1∧(綈p2)为假命题． 答案：D 3．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A．“p且q”是真命题 B．“p或q”是假命题 C．綈p为假命题 D．綈q为假命题 解析：∵当a·b>0时， a与b的夹角为锐角或零度角， ∴命题p是假命题；命题q是假命题， －x＋1，x＝0， 例如f(x)＝ －x＋2，x>0， 综上可知，“p或q”是假命题． 答案：B π 4．“θ＝2”是“曲线f(x)＝sin(3x－θ)的图象关于y轴对称”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ππ 解析：当θ＝2时，有f(x)＝sin3x－＝－cos 3x为偶函数，函 2 数图象关于y轴对称；f(x)＝sin(3x－θ)的图象关于y轴对称，即该函 （2k＋1）πππ 数为偶函数，故得θ＝，(k∈Z)，故“θ＝2”是“θ＝2”2 是“曲线f(x)＝sin(3x－θ)的图象关于y轴对称”的充分不必要条件． 答案：B 5．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据(xi，yi)(i 1^＝1，2，…，8)，其回归直线方程为y＝6x＋a，且x1＋x2＋x3＋x4＋x5 ＋x6＋x7＋x8＝3(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8)＝6，则实数a的值为( ) 11A.16 B.8 111C.4 D.16 3－1 解析：由题中数据得——,x) ＝4，y＝4， 113 由回归直线过点(——,x) ，－y)，得4＝6×4＋a， 1 解得a＝8.故选B. 答案：B 6．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)在[－2，1]上的最小值为( ) A．－1 B．0 C．2 D．3 解析：由函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知， 函数f(x)为二次函数，且其图象的对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)， ∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝2ax＋b， 又f′(x)的图象过点(－1，0)与点(0，2)， 2a×（－1）＋b＝0，则有∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x， 2a×0＋b＝2， 则f(x)在[－2，1]上的最小值为f(－1)＝－1. 答案：A x≥2， 7．平面上满足线性约束条件x＋y≤0，的点(x，y)构成的区域 x－y－10≤0 为D，区域D关于直线y＝2x对称的区域为E，则区域D和区域E 中距离最近的两点的距离为( ) 65125A.5 B.5 83165C.5 D.5 解析：三条直线的交点为A(2，－2)、B(2，－8)、C(5，－5)，区域D为△ABC，A(2，－2)到直线y＝2x的距离最小，为|2×2－1×（－2）|65 ＝5.区域D和区域E中距离最近的两点的距离 5 65125 为2×5＝5.故选B. 答案：B a3 8．已知g(x)为三次函数f(x)＝3x＋ax2＋cx的导函数，则它们的图象可能是( ) 解析：由题意知g(x)＝f′(x)＝ax＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，则g(x)的图象关于直线x＝－1对称，排除B、C；对选项A，由g(x)的图象知x＝0是f(x)的极小值点，与f(x)的图象不相符，所以只有D项的图象是可能的． 答案：D 9．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x＋2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．[－2，－1)∪(2，＋∞) D．(－1，2) 解析：∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)． 又∵f(x＋2) 2x－x－2>0， ∴x＋2<|x|，即 x＋2≥0， 解得－2≤x<－1或x>2. 答案：C 10．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( ) A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象如图所示，由图示可得，函数y＝f(x)－log3|x|的零点有4个． 2 答案：B 11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱体与半个球体的底面互相合在一起组合而成的，其表面积πr2＋2πr2＋4r2＋2πr2＝20π＋16，所以r＝2. 答案：B 12．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a的值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析：将y＝2x＋a两边取对数得x＝log2y－a， 因为两函数的图象关于y＝－x对称， 所以－y＝log2(－x)－a， 所以f(x)＝a－log2(－x)， 由f(－2)＋f(－4)＝1， 知a－log22＋a－log24＝1， 所以a＝2. 答案：C 二、填空题 13．执行如图所示的程序框图，若输入m＝6，则输出n＝________. 解析：第一次循环：n＝6÷3＋1＝3，|6－3|＝3>1； 执行第二次循环：m＝3，n＝3÷3＋1＝2，|3－2|＝1； 5125执行第三次循环：m＝2，n＝3＋1＝3，2－3＝3<1，跳出循环， 5故n＝3. 5答案：3 →＝NC→＝1BC→，|BC→|＝3，AM→·AN→＝6，14．在△ABC中，已知BM3 →·AC→的值为________． 则AB 1→→→解析：由BM＝NC＝3BC知 M、N是BC的三等分点， 设BC的中点为O， →·AN→＝6， 由AM →＋OM→)·→＋ON→)＝|AO→|2－|OM→|2＝6， 即(AO(AO 12→→因为|BC|＝3，所以|OM|＝4， →|2＝25， 由此可得|AO4 →·AC→＝|AO→|2－|OB→|2， 而AB 92→由已知|OB|＝4， →|2－|OB→|2＝25－9＝4. 所以|AO44 答案：4 15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex －ax，若函数f(x)在R上有且只有4个零点，则实数a的取值范围是________． 解析：函数f(x)是定义在R上的偶函数得其图象关于y轴对称， 所以函数f(x)在R上有且只有4个零点等价于函数f(x)＝ex－ax在(0， ex ＋∞)内有且只有2个零点，即函数y＝x(x>0)与y＝a的图象有且仅有两个交点． ex（x－1） ∵y′＝， x2 ∴当x∈(0，1)时，y′<0， 当x∈(1，＋∞)时，y′>0， 且当x＝1时，y＝e， ex 所以当a>e时，函数y＝x(x>0)与y＝a的图象有且仅有两个交点．故a的取值范围是(e，＋∞)． 答案：(e，＋∞) 16．已知函数y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1的零点为an，bn(n∈N*)，设cn＝|an－bn|，则数列{cn}的前2 016项的和为________． 解析：令(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0， 2n＋11 则an＋bn＝2，an·bn＝2， n＋nn＋n 所以cn＝|an－bn| ＝（an＋bn）2－4anbn 111＝2＝n－， n＋nn＋1 故数列{cn}的前2 016项的和为 111111－＋－＋…＋ －2232 0162 017 12 016 ＝1－2 017＝2 017. 2 016答案：2 017 选择填空题专练(二) (见学生用书P151) 一、选择题 1．已知茎叶图列举了集合U的所有元素，设A＝{3，6，9}，则∁UA＝( ) A．{5} B．{5，12} C．{12，13} D．{5，12，13} 解析：由茎叶图可知U＝{3，5，6，9，12，13}， 所以∁UA＝{5，12，13}． 答案：D 2．下列有关命题的说法错误的是( ) A．命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2 －3x＋2＝0，则x＝1” B．“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D．“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题是真命题 解析：命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2 －3x＋2＝0，则x＝1”，即命题A正确； 若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，则“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件，即命题B正确； 若p∧q为假命题，则命题p，q中至少有一个为假命题，即命题C不正确； “若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题为“若x2＋x－6<0，则x≤2”是真命题，D正确． 答案：C 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q 解析：“至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A. 答案：A π 4．为了得到函数y＝sin 2x＋的图象，只需把函数y＝ 6 πsin2x－的图象( ) 3 π A．向左平移2个长度单位 π B．向右平移2个长度单位 π C．向左平移4个长度单位 π D．向右平移4个长度单位 ππ 解析：由y＝sin2x－＝sin 2x－， 36 ππππy＝sin2x＋＝sin 2x－＝sin 2x－＋， 61264 π 所以为了得到函数y＝sin 2x＋的图象，只需把函数y＝sin 6 ππ 2x－的图象向左平移个长度单位． 43 答案：C 5．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，则|2a＋b|的值是( ) A．2 B.10 C．4 D.5 解析：∵a⊥(a－2b)， 12 ∴a·(a－2b)＝a－2a·b＝1－2a·b＝0，则a·b＝， 2 122|2a＋b|＝4a＋4a·b＋b＝4＋4×2＋4＝10. 答案：B 6．将函数y＝3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( ) ππA.12 B.6 π5πC.3 D.6 π 解析：结合选项，将函数y＝3cos x＋sin x＝2sinx＋的图象 3 ππ 向左平移6个单位得到y＝2sinx＋＝2cos x，它的图象关于y轴对 2 称，选B. 答案：B kk 7．若函数h(x)＝2x－x＋3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( ) A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2] k 解析：据题意只需h′(x)＝2＋x2≥0在(1，＋∞)恒成立即可，分离变量可得k≥－2x2，而－2x2<－2，故只需k≥－2即可． 答案：A 8．已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x，2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( ) π A.2 B．π C．2π D．4π 解析：因为f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x π＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin 2x＋， 4 所以函数f(x)＝a·b的最小正周期是π. 答案：B π 9．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有fx＋＝f(－ 4 π x)成立，且f＝1，则实数b的值为( ) 8 A．－1 B．3 C．－1或3 D．－3 π解析：由fx＋＝f(－x)可得 4 ππππfx＋＝fx－＋＝f－x， 8848 π 即函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝8对称， ππ则f＝2＋b或f＝b－2. 88π 又f＝1，所以b＋2＝1或b－2＝1，即b＝－1或3. 8答案：C 10．如图所示，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线 AMMP→|＝2，|AC→|＝3，∠BAC＝90°，段BM上且满足MC＝PB＝2，若|AB →·BC→的值为( ) 则AP 2 A．－3 B．2 2 C．－2 D.3 AMMP 解析：由MC＝PB＝2， 1→1→→2→→→得BP＝3BM＝3(AM－AB)，AM＝3AC， →·BC→＝(BP→－BA→)·→ 所以APBC21→→→→2＋AB·(AC－AB)＝－. ＝33AC3 答案：A x2y21 11．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为e＝2，直线x＋y－1＝0与椭圆交于A，B两点，则过原点O与线段AB中点的直线的斜率为( ) 34A.4 B.3 323C.2 D.3 1 解析：由e＝2，得3a2＝4b2， 22xy2＋2＝1，由ab消去y，得7x2－8x＋4－3a2＝0， y＝1－x 86所以x1＋x2＝7，y1＋y2＝7， 43 所以AB的中点坐标为7，7. 3 故所求直线的斜率为4. 答案：A 12．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0 C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0 解析：由函数图象a>0，f(0)＝d>0. 由图象知函数f′(x)＝3ax2＋2bx＋c有两个根x1，x2，且0 所以x1＋x2＝－3a>0，x1x2＝3a>0，所以b<0，c>0.故A选项正确． 答案：A 二、填空题 13．已知甲袋子里装有编号为1，2，3，4且大小相同的4个红球，乙袋子里装有编号为1，2，3且大小相同的3个黑球．现从甲袋子中任取一个球，其号码记为x，从乙袋子中任取一个球，其号码记为y.则事件“x＋y为4的倍数”的概率为________． 解析：因为x＝1，2，3，4，y＝1，2，3，所以x＋y的所有取值情况有2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7共12种，其中x＋y 3 为4的倍数的有3种，所以事件“x＋y为4的倍数”的概率为P＝121＝4. 1答案：4 x＋y－2≤0， 14．若x，y满足约束条件x－2y＋1≤0，则z＝3x＋y的最大值 2x－y＋2≥0， 为________． 解析：画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z＝3x＋y，当其经过x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点A(1，1)时，z＝3x＋y有最大值4. 答案：4 15．已知函数F(x)＝ex满足F(x)＝g(x)＋h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数． (1)则g(x)＝________； (2)若∀x∈[1，2]使得不等式g(2x)－ah(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：(1)F(x)＝g(x)＋h(x)＝ex， 得F(－x)＝g(－x)＋h(－x)＝e－x， 即F(－x)＝g(x)－h(x)＝e－x， ex＋e－xex－e－x 解得g(x)＝2，h(x)＝2； e2x＋e－2xex－e－x (2)g(2x)－ah(x)≥0即得－a·2≥0， 2 e2x＋e－2x（ex－e－x）2＋2x－x2参数分离得a≤x－x＝＝e－e＋x－x，令 e－eex－e－xe－e121－xx t＝e－e∈e－e，e－e2， 2121 则U＝t＋t在e－e，e－e2上单调递增， e4＋11e4＋1 则Umin＝Ue－e＝3，所以a≤3. e－ee－e e4＋1ex＋e－x 答案：(1)2 (2)－∞，3 e－e 16．设函数f(x)＝2x＋2，观察： f1(x)＝2x＋2， f2(x)＝f(f1(x))＝4x＋6， f3(x)＝f(f2(x))＝8x＋14， f4(x)＝f(f3(x))＝16x＋30， ……， 根据以上事实，则f8(x)＝f(f7(x))＝________； 由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析：观察知：x的系数为2n，常数项为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2，则f8(x)＝f(f7(x))＝256x＋510， 所以fn(x)＝f(fn－1(x))＝2nx＋2n＋1－2. 答案：256x＋510 2nx＋2n＋1－2 选择填空题专练(三) (见学生用书P153) 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝2，当n为正奇数时，an＋1＝an＋2，当n为正偶数时，an＋1＝2an，则a6＝( ) A．11 B．17 C．22 D．23 解析：逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22. 答案：C 10＋5i 2．若复数z满足z＝(i为虚数单位)，则z的模为( ) 2－i A．3 B．4 C．5 D．7 10＋5i（10＋5i）（2＋i）15＋20i 解析：由z＝＝＝5＝3＋4i. 2－i（2＋i）（2－i） 所以，z的模为5，故选C. 答案：C π 3．在△ABC中，∠B＝3，三边长a，b，c成等差数列，且ac＝6，则b的值是( ) A.2 B.3 C.5 D.6 解析：由三边长a，b，c成等差数列可得2b＝a＋c， 由余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos 60°＝(a＋c)2－3ac＝4b2－18， 解得b＝6. 答案：D 4．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的一部分，A、 →·→的B是图象上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则OAOB值为( ) 112 A.2π B.9π＋1 11 C.9π2－1 D.3π2－1 解析：设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为T. T5πππ由图知4＝12－6＝4， 2π ∴T＝π，∴ω＝T＝2. π将点－，0代入y＝sin(2x＋φ)得 12π sin －＋φ＝0， 6 π ∵0<φ<π，∴φ＝6， 2ππ 即y＝sin 2x＋.∴B，－1. 63 2 ππ→·OB→＝－1. 又A，1，∴OA96 答案：C 5．公差不为0的等差数列{an}中，3a2 010－a22 012＋3a2 014＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 012＝a2 012，则b2 011b2 013＝( ) A．4 B．8 C．16 D．36 2 解析：∵3a2 010－a2 012＋3a2 014＝0， 2 ∴6a2 012－a2 012＝0， 即a2 012(a2 012－6)＝0， ∵数列{bn}是等比数列， ∴a2 012＝b2 012≠0， ∴b2 012＝a2 012＝6. 2 ∴b2 011b2 013＝b2 012＝62＝36. 答案：D 6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A．1 B.2 C.3 D．2 解析：由三视图知该四棱锥中的右前侧棱垂直于底面，则最长棱的棱长为12＋12＋12＝3. 答案：C 7．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若 21 点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则m＋n的最小值为( ) A．22 B．4 59C.2 D.2 解析：由函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的解析式知： 当x＝－2时，y＝－1，所以A点的坐标为(－2，－1)，又因为 点A在直线mx＋ny＋2＝0上， 所以－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2， 212m＋n2m＋n所以m＋n＝m＋2n nm159＝2＋m＋n＋2≥2＋2＝2， 2 当且仅当m＝n＝3时等号成立． 219 所以m＋n的最小值为2，故选D. 答案：D x2y2 8．椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线3x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( ) 3－11 A.2 B.2 3 C.2 D.3－1 n ×（－3）＝－1m＋c 解析：设A(m，n)，则 m－cn 3×2＋2＝0， cc23c23 解得A，c，代入椭圆方程中，有4a2＋4b2＝1， 22 ∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2), ∴c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0, ∴e2＝4±23， ∴e＝3－1. 答案：D 9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当31 x∈－2，0时，f(x)＝log2(1－x)，则f(2 014)＋f(2 016)＝( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：由已知得，f(2 014)＋f(2 016)＝f(671×3＋1)＋f(672×3)＝f(1)＋f(0)＝－f(－1)＝1. 答案：A x－ax 10．已知函数f(x)＝·e在定义域内有极值点，则实数a的 x＋1 取值范围是( ) A．a<－1或a>3 B．－1 x＋1－x＋axx－ax 解析：因为f′(x)＝·e＋·e （x＋1）2x＋1 x2＋（1－a）x＋1x＝·e， （x＋1）2由已知x2＋(1－a)x＋1＝0有两个不相等且不等于－1的实数根，所以(1－a)2－4>0且a≠－1，得a<－1或a>3. 答案：A 1x 11．已知函数f(x)＝2＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依 x 次为a，b，c，则( ) A．a 解析：在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的 x 图象，如图．观察它们与直线y＝－x的交点情况可a 1 12．设函数f(x)＝ln(x＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x 1＋x2的取值范围是( ) 1A.3，1 1 －∞，B.3∪(1，＋∞) 11C.－3，3 11 D.－∞，－3∪3，＋∞ 解析：利用排除法求解． 1 当x＝0时，f(0)＝－1 当x＝1时，f(1)＝f(1)，则x＝1不能使不等式f(x)>f(2x－1)成立，排除D； 11 当x＝2时，f(2)＝ln 3－5 故选择A. 答案：A 二、填空题 13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 解析：由题意知，数列{an}是首项与公比都是2的等比数列，所2（1－2n）以＝126，即n＝6. 1－2答案：6 14．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________． 解析：因为f(1)＝a＋2，f′(x)＝3ax2＋1，所以在点(1，a＋2)处的切线的斜率k＝3a＋1，切线方程为y－a－2＝(3a＋1)(x－1)，又因为切线过点(2，7)，所以7－a－2＝3a＋1，解得a＝1. 答案：1 15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是________． 解析：M，N，P是中点， 则MN∥AC，NP∥CC1， 则有平面MNP∥平面CC1A1A， 所以A1到平面MNP的距离为A到平面MNP的距离，根据题意有∠MAC＝90°，AB＝1， 1 所以A到平面MNP的距离为2， 1 又因为MN＝2，NP＝1， 11 所以VP－MNA1＝VA1－MNP＝3S△MNP×2 11111＝3×2×2×1×2＝24. 1 答案：24 16．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)． f（x1）－f（x2） 对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝ x1－x2 g（x1）－g（x2） . x1－x2 现有如下命题： ①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0； ②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 解析：设A(x，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))． 对于①，从y＝2x的图象可看出，m＝kAB>0恒成立，故正确； 对于②，直线CD的斜率可为负，即n<0，故不正确； 对于③，由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)， 即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)， 令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax， 则h′(x)＝2xln 2－2x－a， 由h′(x)＝0得2xln 2＝2x＋a，(*) 结合图象知当a很小时，方程(*)无解， 所以函数h(x)不一定有极值， 所以不一定存在x1，x2使得f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)， 即不一定存在x1，x2使得m＝n，故不正确； 对于④，由m＝－n得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)， 令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax， 则F′(x)＝2xln 2＋2x＋a， 由F′(x)＝0得2xln 2＝－2x－a， 结合图象知该方程必有解，即F(x)必有极值点， 所以存在x1，x2使得F(x1)＝F(x2)，即必存在x1，x2使得m＝－n，综上①④正确． 答案：①④ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容