九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理同步练习

22.2 第3课时 相似三角形判定定理2

知|识|目|标

1．通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理2，并能应用其解决三角形的相似问题．

2．通过对相似三角形判定定理1，2的比较与分析，能根据已知条件选择合适的方法判定三角形相似．

目标一 利用相似三角形判定定理2判定三角形相似

例1 ［教材补充例题］如图22－2－12，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，且ADABAE1

＝＝，即△ADE和△ABC有两组对应边成比例．又因为∠DAE和∠BAC不仅是公共角，而且AC2

是这两组对应边的夹角，根据相似三角形判定定理2可知________∽________，故DE与BC的比值为________；若DE＝6，则BC＝________．

图22－2－12

例2 如图22－2－13，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.

图22－2－13

【归纳总结】运用定理2判定三角形相似的方法：

首先找出这两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若两组对应边成比例，则这两个三角形相似，否则不相似．

目标二 综合应用相似三角形判定定理1，2判定 三角形相似

例3 ［教材补充例题］如图22－2－14，△ABC的边AC，AB上的高BD，CE相交于点O，连接DE.

(1)图中相似的非直角三角形有几对？请将它们写出来； (2)选择其中一对证明，写出证明过程．

图22－2－14

【归纳总结】判定三角形相似的方法：

当两个三角形中存在一对角相等时，要充分挖掘隐含条件寻找另一对角相等．当证明另一对角相等有困难时，应考虑证明夹这对等角的两边对应成比例．

知识点 相似三角形判定定理2

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应________，并且__________，那么这两个三角形相似(可简单说成：________________________的两个三角形相似)．

数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，

∵

ABAC

＝＝k，且∠A＝∠A′， A′B′A′C′

∴△ABC∽△A′B′C′.

[点拨] 运用该定理证明三角形相似时，一定要注意边角的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于全等三角形判定方法中的SAS.

如图22－2－15，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB边上且AE＝3，点F是线段AC上的动点，连接EF.若△AEF与△ABC相似，则AF＝________．

图22－2－15

小林同学的解答如下： AEAF

若△AEF∽△ABC，则＝，

ABAC3AF

即＝，解得AF＝2.故答案为2. 96

你认为以上解题过程正确吗？若不正确，请给出正确过程．

教师详解详析

【目标突破】

1

例1 △ADE △ABC 12

2

例2 [解析] 在△ADQ和△QCP中，已知∠ADQ＝∠QCP相等，但两个锐角的度数无法确定，故相似三角形的判定定理1无法使用．根据正方形的定义和已知条件可得这两个直角三角形的直角边对应成比例，故可用相似三角形判定定理2推出结论．

证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，

11

∴QC＝DQ＝AD，CP＝AD，

24ADDQ

∴＝＝2. QCCP

又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.

例3 [解析] (1)先证明直角三角形相似，然后利用直角三角形相似得到对应边成比例，再得出非直角三角形相似；

OEOB

(2)可选择证明△EOD∽△BOC，证明思路：先证明Rt△BEO∽Rt△CDO，得到＝，再

ODOC根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明．

解：(1)2对，△EOD∽△BOC，△ADE∽△ABC.

(2)(答案不唯一)选择证明△EOD∽△BOC如下：∵∠BEO＝∠CDO＝90°， ∠BOE＝∠COD，

∴Rt△BEO∽Rt△CDO，

OEOBOEOD∴＝，即＝. ODOCOBOC

又∵∠DOE＝∠COB， ∴△EOD∽△BOC.

【总结反思】

类比全等三角形与相似三角形的判定方法：

[小结] 知识点 成比例 夹角相等 两边成比例且夹角相等

[反思] 不正确．根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故

AEAF

采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC时，AF＝2；当△AEF∽△ACB时，＝，

ACAB3AF

即＝，解得AF＝4.5.故答案为2或4.5. 69